[论文解读] Optimal tracking for dynamical systems

Kevin McGoff, Andrew B. Nobel|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2016

Statistical Methods and Inference被引用 4

一句话总结

本论文通过动态不变耦合（joinings）建立了动态系统最优跟踪中极限平均成本的变分表征，证明了最优耦合集合在弱拓扑下是凸集且紧致。推导出在最优跟踪下统计推断的一般收敛定理，使回归估计与系统辨识在量化遍历观测下的相合性结果得以成立。

ABSTRACT

We study the limiting behavior of the average per-state cost when trajectories of a topological dynamical system are used to track a trajectory from an observed ergodic system. We establish a variational characterization of the limiting average cost in terms of dynamically invariant couplings, also known as joinings, of the two dynamical systems, and we show that the set of optimal joinings is convex and compact in the weak topology. Using these results, we establish a general convergence theorem for the limiting behavior of statistical inference procedures based on optimal tracking. The setting considered here is general enough to encompass traditional statistical problems with weakly dependent, real-valued observations. As applications of the general inference result, we consider the consistency of regression estimation under ergodic sampling and of system identification from quantized observations.

研究动机与目标

• 通过拓扑动力系统的轨迹，利用观测到的遍历系统轨迹表征最优跟踪中轨迹的极限平均成本。
• 在弱拓扑下证明最优耦合集合的凸性与紧致性。
• 为基于最优跟踪的统计推断程序建立一般收敛定理。
• 将一般推断结果应用于回归估计，证明在遍历采样下的相合性。
• 将框架扩展至从量化观测中进行系统辨识。

提出的方法

• 将跟踪问题表述为在拓扑动力系统轨迹上最小化每状态的平均成本。
• 利用观测系统与跟踪系统之间的动态不变耦合（joinings）来表征极限成本。
• 应用变分原理，将最小极限成本表示为所有耦合上的下确界。
• 通过拓扑与测度论论证，证明最优耦合集合在弱拓扑下是凸集且紧致。
• 利用最优耦合的紧致性与凸性，推导出基于最优跟踪的统计程序的一般收敛定理。
• 将一般框架应用于具体推断问题，包括在遍历采样下的回归与从量化数据中进行系统辨识。

实验结果

研究问题

• RQ1 动态系统最优跟踪中极限平均成本的变分表征是什么？
• RQ2 动态不变耦合（joinings）与最优跟踪成本有何关系？
• RQ3 最优耦合集合具有哪些拓扑与测度论性质？
• RQ4 如何利用最优跟踪框架建立统计推断程序的收敛性？
• RQ5 在遍历或量化观测下，可从回归与系统辨识中导出哪些相合性结果？

主要发现

• 最优跟踪中的极限平均成本可通过所有动态不变耦合（joinings）上的下确界实现变分表征。
• 最优耦合集合在弱拓扑下是凸集且紧致，确保了稳定性与收敛性。
• 建立了基于最优跟踪的统计推断程序的一般收敛定理，适用于弱依赖的实值观测。
• 在该框架下，证明了在遍历采样下的回归估计具有一致性。
• 通过所提出的跟踪与推断方法，证明了从量化观测中进行系统辨识的一致性。
• 该框架统一并推广了现有在遍历性条件下的统计推断结果，扩展至非独立同分布与量化观测模型。