[论文解读] Optimal Transport Based Seismic Inversion: Beyond Cycle Skipping

Björn Engquist, Yunan Yang|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2020

Seismic Imaging and Inversion Techniques参考文献 65被引用 4

一句话总结

本文提出在全波形反演（FWI）中使用二次 Wasserstein 距离（$W_2$）作为残差函数，以克服周期性折叠问题并提升盐下构造的反演性能。通过将地震信号归一化为概率测度，并利用 $W_2$ 在平移和缩放下的凸性，该方法即使在弱反射波和无直接波传播的亚层成像情况下，也能实现稳定且抗噪声的反演，相较于基于 $L^2$ 的标准 FWI，在合成与真实场景中均表现更优。

ABSTRACT

Full-waveform inversion (FWI) is today a standard process for the inverse problem of seismic imaging. PDE-constrained optimization is used to determine unknown parameters in a wave equation that represent geophysical properties. The objective function measures the misfit between the observed data and the calculated synthetic data, and it has traditionally been the least-squares norm. In a sequence of papers, we introduced the Wasserstein metric from optimal transport as an alternative misfit function for mitigating the so-called cycle skipping, which is the trapping of the optimization process in local minima. In this paper, we first give a sharper theorem regarding the convexity of the Wasserstein metric as the objective function. We then focus on two new issues. One is the necessary normalization of turning seismic signals into probability measures such that the theory of optimal transport applies. The other, which is beyond cycle skipping, is the inversion for parameters below reflecting interfaces. For the first, we propose a class of normalizations and prove several favorable properties for this class. For the latter, we demonstrate that FWI using optimal transport can recover geophysical properties from domains where no seismic waves travel through. We finally illustrate these properties by the realistic application of imaging salt inclusions, which has been a significant challenge in exploration geophysics.

研究动机与目标

• 解决全波形反演（FWI）中的周期性折叠问题，这是基于 $L^2$ 的方法因波动的振荡行为而面临的主要限制。
• 为 $W_2$ 度量在平移和缩放下的凸性建立理论基础，确保反演过程的全局收敛性。
• 通过一种新颖的归一化框架，解决将最优传输理论应用于地震数据（通常为带符号且非自然概率测度）的挑战。
• 证明 $W_2$-FWI 能够恢复反射界面下方、无地震波到达地表的地质物理参数。
• 表明 $W_2$ 基于的反演比 $L^2$ 基于的反演更具抗噪性和建模误差鲁棒性，避免对伪影的过拟合。

提出的方法

• 提出一类归一化技术，将地震信号转换为非负、归一化的概率密度，适用于最优传输。
• 在归一化中引入缓冲常数，以确保 $W_2$ 泛函的度量性质和正则性。
• 证明了 $W_2$ 在平移和缩放下更严格的凸性定理，解释其对相位失配的鲁棒性。
• 将 $W_2$ 度量用作 PDE 约束优化中的残差函数，替代标准的 $L^2$ 范数。
• 证明 $W_2$ 基于的反演能够捕捉残差数据中的低频分量，这对重建背景速度模型至关重要。
• 利用合成与真实的含盐构造模型，对比 $W_2$-FWI 与 $L^2$-FWI 的性能，验证其在噪声和有限波传播条件下的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否证明 $W_2$ 度量在平移和缩放下具有凸性，从而为避免地震反演中周期性折叠问题提供理论依据？
• RQ2 如何将通常为带符号且非概率性的地震信号进行归一化，以满足最优传输理论的要求？
• RQ3 当目标层中无地震波传播时，$W_2$ 基于的 FWI 是否仍能实现对盐下构造的精确成像？
• RQ4 为何 $W_2$ 基于的反演相比 $L^2$ 基于的 FWI 展现出更强的抗噪性和数值误差鲁棒性？
• RQ5 何种归一化策略能最优地优化 $W_2$ 泛函，同时保持物理解释性与度量性质？

主要发现

• $W_2$ 度量对信号平移表现出完美的凸性，确保优化过程避免因周期性折叠导致的局部极小值。
• 所提出的归一化类（包括缓冲常数）确保了 $W_2$ 泛函为恰当度量，提升了优化的正则性与稳定性。
• $W_2$ 基于的反演即使在无直接波能量到达地表的情况下，也能成功恢复盐体下方的速度结构，而 $L^2$-FWI 在此情形下失效。
• 在真实的含盐构造测试中，$W_2$-FWI 生成的重建结果噪声痕迹极小，而 $L^2$-FWI 则对噪声过拟合并产生虚假伪影。
• $W_2$ 度量对数据残差中的低振幅、低频分量更敏感，从而能从较差的初始猜测中更好地恢复背景速度模型。
• 归一化后 $W_2$ 泛函的 Huber-范数类性质降低了远距离或无关地震事件的影响，增强了鲁棒性。