[论文解读] Optimal transport over a linear dynamical system

Yongxin Chen, Tryphon T. Georgiou+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 37被引用 10

一句话总结

本文证明了在具有确定性动力学的线性动力系统上进行最优传输（OMT-wpd）等价于一个经典最优质量传输问题，且具有唯一解。它证明了当噪声强度趋于零时，随机线性系统的Schrödinger桥问题的解弱收敛于确定性OMT-wpd解，从而在零扩散极限下统一了这两种框架。

ABSTRACT

We consider the problem of steering an initial probability density for the state vector of a linear system to a final one, in finite time, using minimum energy control. In the case where the dynamics correspond to an integrator ($\dot x(t) = u(t)$) this amounts to a Monge-Kantorovich Optimal Mass Transport (OMT) problem. In general, we show that the problem can again be reduced to solving an OMT problem and that it has a unique solution. In parallel, we study the optimal steering of the state-density of a linear stochastic system with white noise disturbance; this is known to correspond to a Schrödinger bridge. As the white noise intensity tends to zero, the flow of densities converges to that of the deterministic dynamics and can serve as a way to compute the solution of its deterministic counterpart. The solution can be expressed in closed-form for Gaussian initial and final state densities in both cases.

研究动机与目标

• 将最优质量传输（OMT）推广至具有非平凡线性动力学的系统，提出带有先验动力学的最优传输（OMT-wpd）问题。
• 证明对于任意可控制的线性系统及任意初始与最终分布，OMT-wpd均具有唯一解。
• 通过噪声强度趋于零的极限过程，建立随机动力系统（带噪声）的Schrödinger桥问题与确定性动力系统（无噪声）的OMT-wpd之间的联系。
• 为OMT-wpd与Schrödinger桥问题在初始与最终分布为高斯分布时推导出闭式解。
• 证明当噪声参数 ε → 0 时，随机系统的熵插值弱收敛于确定性系统的位移插值。

提出的方法

• 通过使用状态转移矩阵 Φ(t,s) 和由线性动力学导出的矩阵 M(t,s)，利用坐标变换将OMT-wpd问题约化为标准最优质量传输问题。
• 将Schrödinger桥框架应用于具有伊藤动力学 dx = Ax dt + Bu dt + √ε B dw 的随机线性系统，其中 w 为维纳过程。
• 利用最小能量控制与最小相对熵之间的对偶性，证明Schrödinger桥解最小化相对于先验扩散过程的相对熵。
• 推导变换后系统的联合转移密度 q^{B,ε}，并证明变换后系统的Schrödinger桥问题解对应于原问题的解。
• 通过测度变换与坐标变换 C 将原系统映射至标准形式，从而可应用已知的Schrödinger桥结果。
• 利用条件桥 Q^ε_xy 收敛于确定性路径 γ^xy 的性质，证明熵插值 P^ε_t 弱收敛于位移插值 μ_t，当 ε → 0 时。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有确定性动力学的线性动力系统（OMT-wpd），在任意可控制系统及任意初始与最终分布下，其最优传输问题是否具有唯一解？
• RQ2 当噪声强度 ε 趋近于零时，随机线性系统的Schrödinger桥问题的解是否收敛于OMT-wpd问题的解？
• RQ3 当初始与最终分布为高斯分布时，OMT-wpd与Schrödinger桥问题的解之间有何关系？
• RQ4 状态转移矩阵 Φ(t,s) 与矩阵 M(t,s) 在将OMT-wpd问题转化为标准最优传输问题中起什么作用？
• RQ5 在零噪声极限下，随机系统的熵插值是否弱收敛于确定性系统的位移插值？

主要发现

• 对于具有可控制 (A,B) 矩阵的线性系统，OMT-wpd 问题具有唯一解，且在适当的坐标变换后等价于求解标准最优质量传输问题。
• 当噪声强度 ε → 0 时，同一线性系统的Schrödinger桥问题的解弱收敛于OMT-wpd问题的解。
• 当初始与最终分布为高斯分布时，OMT-wpd 与Schrödinger桥问题均存在闭式解，其形式涉及矩阵 Φ(t,s)、M(t,s) 以及初始与最终分布的协方差矩阵。
• 熵插值 P^{B,ε}_{01} 的联合分布是标准Schrödinger桥 P^ε_{01} 联合分布在坐标变换 C 下的前向推度。
• 随机系统条件路径分布 Q^ε_xy 在 ε → 0 时弱收敛于确定性最小能量路径 γ^xy，从而保证了时间边缘分布的收敛性。
• 位移插值 μ_t 定义为最优传输计划 π 在路径映射下的前向推度，是熵插值时间边缘 P^ε_t 在 ε → 0 时的弱极限。