[论文解读] Optimal velocity control of a convective Cahn-Hilliard system with double obstacles and dynamic boundary conditions: a `deep quench' approach

Pierluigi Colli, Gianni Gilardi+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2017

Solidification and crystal growth phenomena参考文献 23被引用 18

一句话总结

本文研究了具有双障碍和动态边界条件的对流Cahn-Hilliard系统在速度控制下的最优控制问题，采用“深度淬火”方法。通过变分法与正则化技术，作者证明了最优控制的存在性，并推导出必要的最优性条件，为具有速度与相变量约束的相分离过程提供了严格的理论框架。

ABSTRACT

In this paper, we investigate a distributed optimal control problem for a convective viscous Cahn-Hilliard system with dynamic boundary conditions. Such systems govern phase separation processes between two phases taking place in an incompressible fluid in a container and, at the same time, on the container boundary. The cost functional is of standard tracking type, while the control is exerted by the velocity of the fluid in the bulk. In this way, the coupling between the state (given by the associated order parameter and chemical potential) and control variables in the governing system of nonlinear partial differential equations is bilinear, which presents a difficulty for the analysis. In contrast to the previous paper arXiv:1709.02335 [math.AP] by the same authors, the bulk and surface free energies are of double obstacle type, which renders the state constraint nondifferentiable. It is well known that for such cases standard constraint qualifications are not satisfied so that standard methods do not apply to yield the existence of Lagrange multipliers. In this paper, we overcome this difficulty by taking advantage of results established in the quoted paper for logarithmic nonlinearities, using a so-called `deep quench approximation'. We derive results concerning the existence of optimal controls and the first-order necessary optimality conditions in terms of a variational inequality and the associated adjoint system.

研究动机与目标

• 研究具有双障碍的对流Cahn-Hilliard系统的最优控制问题，以建模相分离过程中的相变量及其速度的约束。
• 引入动态边界条件，以描述相分离过程中表面效应的影响。
• 提出一种“深度淬火”方法，以处理双障碍势能，从而实现对奇异极限与非光滑情形下最优控制的分析。
• 证明最优控制的存在性，并推导控制问题的一阶必要最优性条件。
• 通过引入速度控制与动态边界条件，拓展现有Cahn-Hilliard系统的研究成果。

提出的方法

• 采用“深度淬火”正则化技术，近似双障碍势能，将非光滑控制问题转化为一系列光滑且可解的问题序列。
• 在Hilbert空间框架下，利用变分形式与弱解方法，处理带有动态边界条件的耦合PDE系统。
• 应用渐近分析方法，对正则化问题取极限，从而恢复原始非光滑问题的解。
• 在正则化问题的框架下，通过Lagrange乘子法则推导一阶最优性系统，再取极限，获得原始问题的最优性系统。
• 利用极大单调算子与次微分理论，处理弱形式中双障碍势能及其次微分。
• 建立紧致性与收敛性结果，以证明从正则化问题到原始问题的极限过程的合理性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在速度控制下，具有双障碍和动态边界条件的对流Cahn-Hilliard系统是否存在最优控制？
• RQ2 如何对非光滑的双障碍势能进行正则化，以支持变分分析与最优性条件的推导？
• RQ3 该控制问题的必要最优性条件是什么？它们与状态变量和伴随变量之间有何关系？
• RQ4 “深度淬火”方法是否可成功应用于具有动态边界条件与速度控制的系统？
• RQ5 当正则化参数趋于零时，正则化最优控制问题的极限行为如何？

主要发现

• 证明了具有双障碍和动态边界条件的非光滑Cahn-Hilliard系统存在最优控制。
• “深度淬火”方法成功正则化了双障碍势能，使得一阶最优性条件得以推导。
• 在极限情况下导出了必要最优性系统，其包含状态变量、伴随变量与控制变量，且双障碍势能的次微分出现在伴随方程中。
• 在适当假设下，证明了正则化最优解序列收敛于原始问题的解。
• 该方法可有效纳入速度控制，扩展了以往仅考虑状态控制的Cahn-Hilliard系统研究结果。
• 分析在弱形式框架下进行，确保了方法对物理上相关的非光滑相变模型具有适用性。