[论文解读] Optimality for totally real immersions and independent mappings of manifolds into C^N

Pak Tung Ho, Howard Jacobowitz+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用 8

一句话总结

本文確立了光滑流形到複仿射空間 𝐂^𝑁 的全實浸入與獨立映射的目標維度的最優性。透過在可定向流形（特別是 ℂℙ² 的乘積）上使用陳類障礙與橫截性論證，證明了全實浸入的界限 𝑁 ≥ ⌊3𝑛/2⌋ 和獨立映射的界限 𝑁 ≤ ⌊(𝑛+1)/2⌋ 為最優，並透過新構造的例子顯示這些維度無法進一步改善。

ABSTRACT

The optimal target dimensions are determined for totally real immersions and for independent mappings into complex affine spaces. Our arguments are similar to those given by Forster, but we use orientable manifolds as far as possible and so are able to obtain improved results for orientable manifolds of even dimension. This leads to new examples showing that the known immersion and submersion dimensions for holomorphic mappings from Stein manifolds to affine spaces are best possible.

研究动机与目标

• 證明全實浸入與獨立映射至 𝐂^𝑁 的目標維度界限為最優。
• 構造無法在已知界限以下實現此類映射的封閉流形的顯式例子。
• 改善可定向流形在維度 4𝑘+2 與 4𝑘 且上層陳類為零時的已知結果。
• 透過陳類障礙顯示橫截性論證所得界限為精確，證明其為最優。
• 將光滑情形下的結果與斯坦流形的全純浸入與覆疊映射進行比較，確認在全純設定下同樣為最優。

提出的方法

• 使用陳類理論，將全實浸入的存在性轉化為上同調條件：存在秩為 𝑁−dim M 的複向量叢 𝑄，使得 c(ℂ⊗TM)⌣c(Q) = 1。
• 應用 Whitney 和公式與陳類性質，推導出 ℂ⊗TM ⊕ Q 非平凡性的障礙。
• 構造具體例子：𝑀^{4𝑘} = (ℂℙ²)^×𝑘，及其與 𝑆¹ 或 ℝℙ² 的乘積，以涵蓋模 4 的所有維度。
• 運用橫截性與 jet 捕綿技術分析 𝐽¹(𝑀, 𝐂^𝑁) 中奇點集的余維，證明界限對一般性而言是必要的。
• 利用僅當秩不足流形的余維超過流形維度時，獨立函數才可能存在的事實。
• 依賴於存在全域截面可張成叢的纖的性質，此性質透過截面空間中的橫截性與維度計數得以證明。

实验结果

研究问题

• RQ1 對於某些流形，全實浸入至 𝐂^𝑁 的目標維度 𝑁 = ⌊3𝑛/2⌋ 是否可進一步降低？
• RQ2 獨立映射的界限 𝑁 ≤ ⌊(𝑛+1)/2⌋ 是否為精確？或可進一步改善？
• RQ3 維度為 4𝑘+2 或 4𝑘 且上層陳類為零的可定向流形，是否具有優於一般情形的界限？
• RQ4 光滑情形下全實浸入與獨立映射的維度界限，是否與斯坦流形的全純設定下相同？
• RQ5 能否構造顯式反例以證明界限為最優？

主要发现

• 對於每個 𝑘 ≥ 1，流形 𝑀^{4𝑘} = (ℂℙ²)^×𝑘 無法全實浸入至 𝐂^𝑁，其中 𝑁 = 6𝑘−1，從而證明在偶數維度下 𝑁 ≥ 3𝑛/2 為最優。
• 流形 𝑀^{4𝑘+1} = 𝑀^{4𝑘} × 𝑆¹ 無法全實浸入至 𝐂^𝑁，其中 𝑁 = 6𝑘，顯示在維度 4𝑘+1 時界限為最優。
• 流形 𝑀^{4𝑘+2} = 𝑀^{4𝑘} × ℝℙ² 無法全實浸入至 𝐂^𝑁，其中 𝑁 = 6𝑘+2，確認在維度 4𝑘+2 時界限為最優。
• 流形 𝑀^{4𝑘+3} = 𝑀^{4𝑘} × ℝℙ² × 𝑆¹ 無法全實浸入至 𝐂^𝑁，其中 𝑁 = 6𝑘+3，證明在維度 4𝑘+3 時界限為最優。
• 對於維度為 4𝑘+2 的可定向流形，本文獲得比一般情形更強的最優性結果。
• 對於維度為 4𝑘 且上層陳類為零的可定向流形，本文證明了改進的最優界限，顯示一般界限在此條件下並非緊緻。