[论文解读] Optimization with More than One Budget

Fabrizio Grandoni, Rico Zenklusen|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2010

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 27被引用 6

一句话总结

本文针对具有常数个预算约束的k-预算优化问题，提出了确定性和随机化的多项式时间近似方案（PTAS/PRAS），其中解构成一个独立系统。该文提出了一种新颖的可行性保持变换，将多准则近似方案转化为纯PTAS/PRAS，并发展了拓扑与多面体技术——特别是利用拟阵多面体的低维面——以解决匹配、生成树和拟阵独立集等问题，实现了(1−ε)-近似，且不违反任何预算约束。

ABSTRACT

A natural way to deal with multiple, partially conflicting objectives is turning all the objectives but one into budget constraints. Some classical polynomial-time optimization problems, such as spanning tree and forest, shortest path, (perfect) matching, independent set (basis) in a matroid or in the intersection of two matroids, become NP-hard even with one budget constraint. Still, for most of these problems deterministic and randomized polynomial-time approximation schemes are known. In the case of two or more budgets, typically only multi-criteria approximation schemes are available, which return slightly infeasible solutions. Not much is known however for the case of strict budget constraints: filling this gap is the main goal of this paper. We show that shortest path, perfect matching, and spanning tree (and hence matroid basis and matroid intersection basis) are inapproximable already with two budget constraints. For the remaining problems, whose set of solutions forms an independence system, we present deterministic and randomized polynomial-time approximation schemes for a constant number k of budget constraints. Our results are based on a variety of techniques: 1. We present a simple and powerful mechanism to transform multi-criteria approximation schemes into pure approximation schemes. 2. We show that points in low dimensional faces of any matroid polytope are almost integral, an interesting result on its own. This gives a deterministic approximation scheme for k-budgeted matroid independent set. 3. We present a deterministic approximation scheme for 2-budgeted matching. The backbone of this result is a purely topological property of curves in R^2.

研究动机与目标

• 为满足严格预算约束的多预算优化问题（特别是当k ≥ 2时）填补近似算法的空白。
• 开发多项式时间近似方案（PTAS/PRAS），其不违反任何预算约束，与现有支持小预算违规的多准则方案不同。
• 为最短路径、完美匹配和生成树等基础问题在两个或更多预算约束下建立不可近似性结果。
• 将近似技术从两预算推广至k ≥ 2个预算约束，识别出实现近似的结构性关键性质。
• 研究1-预算变体的完全多项式时间近似方案（FPTAS）是否存在，特别是针对匹配和生成树问题。

提出的方法

• 提出一种‘可行性化’机制，将允许小预算违规的多准则PTAS/PRAS转化为严格遵守所有预算约束的纯PTAS/PRAS。
• 采用贪心丢弃策略，证明即使预算被小幅缩小，仍存在良好解，从而实现可行性恢复。
• 应用Karamaté定理，将拟阵多面体的顶点解表示为至多三个匹配的凸组合，从而支持迭代舍入。
• 利用R²中曲线的拓扑性质，识别2-预算匹配中可交换边的区间，确保近似过程中的预算合规性。
• 证明拟阵多面体低维面中的点近乎整数，从而为k-预算拟阵独立集提供确定性近似。
• 采用两阶段算法：首先猜测最优解中权重最大的边，然后在受限多面体中计算最大权重顶点，并将其分解为匹配。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于k ≥ 2的k-预算问题，尽管其为NP难问题，是否能在多项式时间内满足严格预算约束？
• RQ2 是否可以将允许预算轻微违规的多准则近似方案，转化为严格遵守所有预算的纯近似方案？
• RQ3 拟阵多面体或解空间的何种结构性质，使得k-预算拟阵独立集可实现确定性近似？
• RQ4 用于2-预算匹配的拓扑方法能否推广至k ≥ 3个预算约束？
• RQ5 对于1-预算生成树和1-预算匹配问题，是否存在完全多项式时间近似方案（FPTAS），特别是考虑到其与精确匹配的关联？

主要发现

• k-预算生成树、最短路径、完美匹配、拟阵基和拟阵交基在任意常数因子内不可近似，除非P = NP，即使k = 2时亦然。
• 对于解集构成独立系统的优化问题，当常数k ≥ 2时，存在确定性PTAS与随机化PRAS，实现(1−ε)-近似且不违反任何预算约束。
• 所提出的可行性保持变换可将任意多准则PTAS/PRAS转化为纯PTAS/PRAS，从而实现严格预算合规。
• 对于2-预算匹配，通过R²中曲线的拓扑论证，实现了确定性PTAS，确保边交换过程不破坏预算约束。
• k-预算拟阵独立集的算法通过利用拟阵多面体低维面中点的近乎整数性，实现了(1−ε)-近似。
• 算法返回的解权重至少为最优解的(1−ε)倍，即使在猜测最优解中权重最大的6/ε条边后，近似保证依然成立。