[论文解读] Optimum-width upward drawings of trees

Thérèse Biedl|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2015

Remote Sensing and LiDAR Applications参考文献 8被引用 6

一句话总结

本文提出了线性时间算法，用于构建具有实例最优宽度的向上树图。对于无序树，提供最优宽度的直线图；对于有序（保持顺序）树，通过带弯折的折线图实现最优宽度。关键贡献在于提出了一种基于秩的参数，用于刻画保持顺序的图的最小可能宽度。

ABSTRACT

An upward drawing of a tree is a drawing such that no parents are below their children. It is order-preserving if the edges to children appear in prescribed order around each node. Chan showed that any tree has an upward order-preserving drawing with width O(log n). In this paper, we present linear-time algorithms that finds upward with instance-optimal width, i.e., the width is the minimum-possible for the input tree. We study two different models. In the first model, the drawings need not be order-preserving; a very simple algorithm then finds straight-line drawings of optimal width. In the second model, the drawings must be order-preserving; and we give an algorithm that finds optimum-width poly-line drawings, i.e., edges are allowed to have bends. We also briefly study order-preserving upward straight-line drawings, and show that some trees require larger width if drawings must be straight-line.

研究动机与目标

• 为给定的树找到具有最小可能宽度的向上树图，实现实例最优性。
• 放宽理想图的约束（直线、保持顺序），使问题可解，同时保持最优性。
• 开发高效算法，在不同模型下（无序 vs. 保持顺序）计算最优宽度的图。
• 通过一种称为“秩”的新图参数，刻画保持顺序的向上图所需的最小宽度。
• 探讨直线图在实现最优宽度方面的局限性，特别是当根必须置于角落时。

提出的方法

• 将树的“秩”定义为一个参数，用于捕捉保持顺序的向上折线图所需的最小宽度。
• 使用递归算法计算每个子树的秩，并识别“角落见证”（强制宽度的节点配置），以确定全局最小宽度。
• 对于无序图，应用已知算法的简单修改，实现最优宽度的直线、严格向上、平面图。
• 对于有序图，通过尊重子节点顺序的递归构造，生成带弯折的折线图，确保宽度与计算出的秩一致。
• 使用左测试和右测试（TestLeft, TestRight）检测角落见证的存在，以判断树的秩是否等于其子树最大秩，或为其加一。
• 证明：对于最大度数 ≤4 的树，该秩参数等于有根路径宽；但对于度数更高的树，该秩可能达到有根路径宽的两倍。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否在无序模型下计算出具有实例最优宽度的向上树图？
• RQ2 我们能否在保持顺序的向上折线图中实现最优宽度？如果可以，如何实现？
• RQ3 该秩参数是否对所有树都等于有根路径宽，还是存在例外？
• RQ4 直线图是否总是能实现与折线图相同的最优宽度？是否存在某些树在直线图中需要更大宽度？
• RQ5 在最优宽度图中，根是否总能置于角落，特别是在直线图情况下？

主要发现

• 基于子树秩和角落见证递归定义的树的秩，精确刻画了保持顺序的向上折线图所需的最小宽度。
• 线性时间算法可计算秩并构造出保持顺序折线图的最优宽度图，宽度至多为 (log n + 1) × (2n - 1)。
• 对于无序树，简单算法可在线性时间内生成最优宽度的直线图，宽度至多为 log(n+1) × n。
• 存在某些树在直线图中所需宽度严格大于折线图，即使后者可实现相同宽度。
• 即使对于四叉树，根在最优宽度直线图中也未必能置于角落。
• 对于度数为5的树，秩可能达到有根路径宽的两倍，显示出无序与有序图宽度之间的显著差距。