[论文解读] Orbifold Quasimap Theory

Daewoong Cheong, Ionuţ Ciocan-Fontanine+1 more|arXiv (Cornell University)|May 28, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 26被引用 5

一句话总结

本文将准映射理论与亏格零的墙穿插结果推广至轨道丛，为环状德利涅-穆尔弗雷德堆栈建立了广义镜像定理。它构建了一族关于轨道丛GIT商的稳定准映射的紧化模空间，证明了其德利涅-穆尔弗雷德性与完备性，并推导出一个墙穿插公式，通过一个由 $ (0+) $-准映射不变量构成的生成系列表达的镜像映射，将准映射理论中的 $ S^\varepsilon $-算子与格罗莫夫-威滕理论中的 $ S^\infty $-算子联系起来。

ABSTRACT

We extend to orbifolds the quasimap theory of arXiv:0908.4446 and arXiv:1106.3724, as well as the genus zero wall-crossing results from arXiv:1304.7056 and arXiv:1401.7417. As a consequence, we obtain generalizations of orbifold mirror theorems, in particular, of the mirror theorem for toric orbifolds recently proved independently by Coates, Corti, Iritani, and Tseng (arXiv:1310.4163).

研究动机与目标

• 为轨道丛GIT商背景下的准映射理论建立基础框架，推广此前在光滑簇上的工作。
• 通过将 $ S^\varepsilon $-算子与 $ S^\infty $-算子关联，建立轨道丛准映射不变量的亏格零墙穿插公式。
• 通过将镜像映射表达为 $ (0+) $-准映射不变量的生成系列，推广轨道丛镜像定理，特别是针对环状德利涅-穆尔弗雷德堆栈。
• 证明准映射理论的 $ \mathds{I} $-函数位于吉文塔尔拉格朗日子簇上，从而将准映射不变量与格罗莫夫-威滕理论联系起来。

提出的方法

• 构建了一族关于轨道丛GIT商 $ X = [W^{ss}/G] $ 的稳定准映射模栈，以稳定性参数 $ \varepsilon \in \mathbb{Q}_{>0} \cup \{0+, \infty\} $ 为参数，并证明其为仿射商上的德利涅-穆尔弗雷德栈。
• 在LCS和非光滑性假设下，为这些模空间建立完美障碍理论，从而定义虚拟基本类与下拉不变量。
• 引入准映射理论的 $ J^\varepsilon $-函数与 $ S^\varepsilon $-算子，并证明墙穿插公式 $ S^\varepsilon_t(\mathbbm{1}_X) = S^\infty_{\tau^\varepsilon(t)}(\mathbbm{1}_X) $，其中 $ \tau^\varepsilon(t) $ 是由 $ (0+) $-准映射不变量构建的镜像映射。
• 通过图空间上的局部化方法推导出准映射理论的 $ \mathds{I} $-函数，并证明其位于格罗莫夫-威滕理论的吉文塔尔拉格朗日子簇上。
• 将该框架应用于环状德利涅-穆尔弗雷德堆栈，显式计算 $ \mathds{I} $-函数，并证明小 $ I $-函数 $ I^{\mathrm{Giv}}(t,q,z) $ 位于吉文塔尔子簇上。
• 利用 $ \mathds{I} $-函数，无需依赖岑格的量子莱夫谢茨定理，重新证明了环状德利涅-穆尔弗雷德堆栈中完备交的轨道丛镜像定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 准映射理论如何推广至轨道丛GIT目标，特别是在存在扭曲标记与纤维丛结构的情况下？
• RQ2 稳定准映射的模空间在轨道丛GIT商上具有何种结构，其在何种条件下是具有完美障碍理论的完备德利涅-穆尔弗雷德栈？
• RQ3 在轨道丛设定下，能否建立准映射不变量的亏格零墙穿插公式，它们与格罗莫夫-威滕不变量有何关系？
• RQ4 轨道丛格罗莫夫-威滕理论中的镜像映射如何通过准映射不变量进行枚举解释？
• RQ5 准映射理论的 $ \mathds{I} $-函数在多大程度上位于格罗莫夫-威滕理论的吉文塔尔拉格朗日子簇上？

主要发现

• 在 $ W $ 的奇点为至多LCS且 $ W^{ss} $ 非奇异的条件下，对于所有 $ \varepsilon \in \mathbb{Q}_{>0} \cup \{0+, \infty\} $，稳定准映射的模空间是轨道丛GIT商上的完备德利涅-穆尔弗雷德栈。
• 准映射理论中的 $ S^\varepsilon $-算子满足墙穿插公式 $ S^\varepsilon_t(\mathbbm{1}_X) = S^\infty_{\tau^\varepsilon(t)}(\mathbbm{1}_X) $，其中 $ \tau^\varepsilon(t) $ 是 $ (0+) $-准映射不变量的生成系列。
• 准映射理论的 $ \mathds{I} $-函数位于格罗莫夫-威滕理论的吉文塔尔拉格朗日子簇上，从而在两者之间建立了直接联系。
• 对于半正向的环状轨道丛，小 $ I $-函数 $ I^{\mathrm{Giv}}(t,q,z) $ 被证明位于吉文塔尔子簇上，且镜像映射显式表达为 $ t + I_1(q) = t + \sum_{i=0}^s \sum_{\beta \neq 0} q^\beta \gamma_i \langle \gamma^i, \mathbbm{1}_X \rangle_{0,2,\beta}^{0+} $。
• 结果提供了一种新的证明方法，无需依赖岑格的量子莱夫谢茨定理，证明了环状德利涅-穆尔弗雷德堆栈中完备交的轨道丛镜像定理。
• 准映射理论的 $ \mathds{I} $-函数被显式计算为等变陈类与欧拉因子的函数，其中 $ 1/z $-系数仅涉及未扭 sector 的类。