[论文解读] Orbifolds as stacks?

Eugene Lerman|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用 11

一句话总结

本文主张应将轨道丛视为2-范畴而非1-范畴，提出两种互补的框架：(1) 由叶层李群丛、双 bundles 及其之间的等变映射构成的弱2-范畴；(2) 光滑流形上的 Deligne-Mumford 群丛的严格2-范畴。关键贡献在于表明，由于自然变换的存在，轨道丛之间的映射自然形成群丛，从而解决了经典与现代轨道丛定义中的基础性问题。

ABSTRACT

The first goal of this survey paper is to argue that if orbifolds are groupoids, then the collection of orbifolds and their maps has to be thought of as a 2-category. Compare this with the classical definition of Satake and Thurston of orbifolds as a 1-category of sets with extra structure and/or with the "modern" definition of orbifolds as proper etale Lie groupoids up to Morita equivalence. The second goal is to describe two complementary ways of thinking of orbifolds as a 2-category: 1. the weak 2-category of foliation Lie groupoids, bibundles and equivariant maps between bibundles and 2. the strict 2-category of Deligne-Mumford stacks over the category of smooth manifolds.

研究动机与目标

• 为解决经典轨道丛定义中的基础性问题，特别是映射复合不明确及向量丛拉回问题。
• 论证当轨道丛被视为群丛时，必须将其视为2-范畴，因为必须考虑函子之间的自然变换。
• 提供两种几何上自然且互补的轨道丛2-范畴表述：通过双 bundles 和通过群丛。
• 通过将李群丛嵌入光滑流形上的2-范畴群丛中，阐明群丛与双 bundles 在微分几何中的作用。
• 证明在1-范畴设定下，将群丛范畴在等价关系下局部化无法保持下降性质，除非采用2-范畴设定。

提出的方法

• 使用 Hilsum-Skandalis 的李群丛范畴，其中态射由双 bundles（具有相容作用的主丛）表示，以构建轨道丛的弱2-范畴。
• 将轨道丛之间的映射定义为双 bundles，2-态射定义为双 bundles 之间的等变映射，从而形成弱2-范畴。
• 利用2-Yoneda引理与下降理论，将李群丛嵌入光滑流形范畴上的2-范畴群丛中。
• 通过图册刻画轨道丛为几何群丛，其中图册对应于恰当且局部平凡的李群丛。
• 利用群丛条件（下降性）证明：任何流形上的主丛在局部存在截面，从而在群丛理论框架中实现本质满射的构造。
• 证明同一群丛的两个图册诱导出 Morita 同构的群丛，且可通过底流形的纤维积显式构造出可逆双 bundles。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何经典与现代轨道丛定义无法正确处理映射的复合与几何结构的拉回？
• RQ2 如何使轨道丛之间的映射空间自然地构成群丛而非集合？
• RQ3 当轨道丛被视为恰当且局部平凡的李群丛时，其正确的2-范畴框架是什么？
• RQ4 能否在保持下降性质的前提下，将轨道丛范畴在等价关系下局部化？若不能，原因是什么？
• RQ5 双 bundles 与群丛两种方法如何提供互补且等价的轨道丛2-范畴描述？

主要发现

• 由于函子之间的自然变换，两个轨道丛之间的映射空间自然形成群丛，这对轨道丛上的微分几何至关重要。
• 在1-范畴设定下，将李群丛范畴在等价关系下局部化无法保持下降性质，除非采用2-范畴设定，如引理3.41所示。
• 双 bundles 为轨道丛弱2-范畴中的1-态射提供了几何实现，2-态射由双 bundles 之间的等变映射给出。
• 在光滑流形范畴上的 Deligne-Mumford 群丛为轨道丛提供了严格2-范畴框架，其中图册对应于恰当且局部平凡的李群丛。
• 同一群丛的两个图册诱导出 Morita 同构的群丛，且可通过底流形的纤维积显式构造出可逆双 bundles。
• 群丛理论方法确保任何主丛在局部存在截面，从而支持下降性，并证明从群丛到主丛的函子是本质满射的。