[论文解读] Ordered Ramsey numbers

David Conlon, Jacob Fox+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2014

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 29被引用 9

一句话总结

本文引入并研究了有序Ramsey数，这是经典Ramsey数的一种变体，要求在标记图的单色副本中保持顶点的顺序。研究证明，即使对于匹配等稀疏图，有序Ramsey数也可以是超多项式增长，同时建立了通用上界 $ r_< (H) \leq r(H)^{c\log^2 n} $，表明对于任意标记图H，其增长仅比标准Ramsey数略快。

ABSTRACT

Given a labeled graph $H$ with vertex set $\{1, 2,\ldots,n\}$, the ordered Ramsey number $r_

研究动机与目标

• 正式定义并研究有序Ramsey数，其中标记图中的顶点顺序必须在单色副本中保持不变。
• 理解图的结构和标记如何影响Ramsey型阈值，特别是与经典Ramsey数相比。
• 确定有序Ramsey数是否可以显著大于经典Ramsey数，尤其是对于稀疏或结构化图。
• 为包括匹配、路径和超立方体在内的各种图族建立有序Ramsey数的一般上下界。
• 探讨特定图类（如立方体和有界度图）的有序Ramsey数增长速率的开放问题。

提出的方法

• 将有序Ramsey数 $ r_< (H) $ 定义为最小的N，使得每个 $ K_N $ 的2-着色都包含一个与H具有相同顶点相对顺序的单色有序副本。
• 使用极值组合数学和概率方法推导上界，包括对任意n个顶点的标记图H，存在通用上界 $ r_< (H) \leq r(H)^{c\log^2 n} $。
• 应用区间色数和带宽的概念分析结构化图（如匹配和路径），证明有界带宽图的多项式界。
• 利用极值图论中的已知结果（如Füredi和Hajnal关于禁止0-1矩阵的研究）来界定特定图族的有序Ramsey数。
• 通过迭代应用Ramsey型定理（如定理5.4）构建嵌套的单色子图，从而为带宽有界的图建立界。
• 使用区间色数和带宽分析超立方体图 $ Q_d $，推导出指数上界和下界，表明下界更接近真实值。

实验结果

研究问题

• RQ1 即使对于稀疏图（如匹配）而言，有序Ramsey数是否可以是超多项式增长，尽管经典Ramsey数是多项式增长？
• RQ2 是否存在一个仅依赖于经典Ramsey数和顶点数的有序Ramsey数的一般上界？
• RQ3 对于带宽有界的图，有序Ramsey数是否可以被顶点数的多项式所界定？
• RQ4 超立方体 $ Q_d $ 的有序Ramsey数是否随d呈指数增长，且下界是否比上界更紧？
• RQ5 对于d-正则图，其有序Ramsey数在某些标记下是否可以是n的线性函数，还是总是超线性？

主要发现

• 对于任意n个顶点的标记图H，有序Ramsey数满足 $ r_< (H) \leq r(H)^{c\log^2 n} $，其中c为绝对常数，表明其相对于经典Ramsey数仅出现拟多项式增长。
• 存在匹配的标记方式，使得有序Ramsey数在顶点数上为超多项式增长，表明有序Ramsey数与经典Ramsey数之间存在显著差距。
• 对于单调路径 $ P_n $，有序Ramsey数恰好为 $ (n-1)^2 + 1 $，与Erdős–Szekeres关于单调子序列的定理一致。
• 对于d维超立方体 $ Q_d $，有序Ramsey数至少为 $ 2^{c'd^2 / \log d} $，至多为 $ 2^{cd^3} $，且认为下界是紧的。
• 对于带宽至多为k的图，有序Ramsey数被界定为 $ n^{c_k} $，其中 $ c_k $ 为某常数，该结果后来被推广至所有带宽有界的图。
• 对于带宽至多为k的匹配，有序Ramsey数被界定为 $ n^{\lceil \log k \rceil + 2} $，且该界在对数因子范围内是紧的。