[论文解读] Orthofibrations and monoidal adjunctions

Fabian Hebestreit, Sil Linskens+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 3被引用 4

一句话总结

本文通过使用范畴积上的广义纤维丛（spans）构造了一种对偶化方法，用于关联两个 ∞-范畴积上的纤维丛，从而在单调伴随中建立了右伴随上的伪张量结构与左伴随上的余伪张量结构之间的对应关系。其核心贡献是通过显式的基于广义纤维丛的对偶性，形式化地建立了这两种对偶张量结构之间的等价性。

ABSTRACT

We study various types of fibrations over a product of two $\infty$-categories, and show how they can be dualised over one of the two factors via an explicit construction in terms of spans. Among other things, we use this to prove that given an adjunction between monoidal $\infty$-categories, there is an equivalence between lax monoidal structures on the right adjoint and oplax monoidal structures on the left adjoint functor.

研究动机与目标

• 通过在两个 ∞-范畴积的一个因子上进行对偶化，建立该积上纤维丛之间的对偶性。
• 阐明单调伴随中右伴随上的伪张量结构与左伴随上的余伪张量结构之间的关系。
• 通过基于广义纤维丛的显式构造，在 ∞-范畴的语境下实现这一对偶性。
• 将经典单调伴随结果推广至具有一致高阶结构的 ∞-范畴设定。

提出的方法

• 在 ∞-范畴设定中利用广义纤维丛，构造一个在 ∞-范畴积的一个因子上的对偶化函子。
• 将广义纤维丛构造应用于 ∏-范畴上的纤维丛，以获得对偶纤维丛。
• 依赖于 ∞-范畴理论与格罗滕迪克构造，将纤维丛解释为映射到 ∞-群胚的函子。
• 在右伴随上的伪张量结构 ∞-范畴与左伴随上的余伪张量结构 ∞-范畴之间建立等价性。
• 利用广义纤维丛的普遍性质，确保对偶构造中的自然性与一致性。
• 通过广义纤维丛构造诱导的自然同构，证明该对偶性保持张量结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地在 ∞-范畴积的一个因子上对偶化其上的纤维丛？
• RQ2 在单调伴随中，右伴随上的伪张量结构与左伴随上的余伪张量结构之间的确切关系是什么？
• RQ3 能否在 ∞-范畴设定中通过广义纤维丛显式构造这种张量结构之间的对偶性？
• RQ4 这种对偶性在单调 ∞-范畴中在多大程度上保持了相干性数据？
• RQ5 该构造在多大程度上将经典单调伴随结果推广至高阶范畴？

主要发现

• 右伴随函子上的伪张量结构 ∞-范畴与左伴随函子上的余伪张量结构 ∞-范畴之间存在一个典范等价。
• 该对偶性通过基于广义纤维丛的构造实现，系统地将 ∞-范畴积上的纤维丛进行变换。
• 该构造保持了张量相干性数据，确保等价性尊重张量结构。
• 对偶化过程是自然且函子性的，可推广至伴随的态射。
• 该结果为单调范畴中经典伴随对应关系提供了一个高阶范畴的推广。
• 广义纤维丛构造作为诱导伪张量与余伪张量结构之间对偶性的通用机制。