[论文解读] A fibrational mate correspondence for $\infty$-categories

Rune Haugseng|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用 7

一句话总结

本文建立了$∞$-范畴上的纤维化对偶对应关系，使得$(∞,2)$-范畴中伴随关系的系统处理成为可能。证明了在$∞$-范畴中，双 lax 对称张量函子的左伴随是双 oplax 对称张量函子，且在闭对称张量$∞$-范畴中，内部态射函子在每个变量上都是 lax 对称张量函子，通过单位与余单位推导出对偶的完整扭曲自然性。

ABSTRACT

We study families of adjoints from a fibrational viewpoint, obtaining a version of the mate correspondence for (op)lax natural transformations of functors from an $\infty$-category to the $(\infty,2)$-category of $\infty$-categories. We apply this to show that the left adjoint of a lax symmetric monoidal functor is oplax symmetric monoidal and that the internal Hom in a closed symmetric monoidal $\infty$-category is lax symmetric monoidal in both variables. We also consider units and counits of such families of adjoints, and use them to derive the full (twisted) naturality of passing to the dual.

研究动机与目标

• 开发$(∞,2)$-范畴中伴随族的纤维化框架。
• 将经典对偶对应关系推广到$∞$-范畴中(op)lax自然变换的设定。
• 将纤维化对偶对应关系应用于对称张量结构，特别是在lax与oplax函子的背景下。
• 通过伴随的单位与余单位推导出对偶操作的完整扭曲自然性。
• 确立在闭对称张量$∞$-范畴中，内部态射函子在每个变量上都是lax对称张量函子。

提出的方法

• 在$∞$-范畴的$(∞,2)$-范畴中，使用纤维化形式化伴随族。
• 在从$∞$-范畴到$∞$Cat的函子之间的(op)lax自然变换之间，构造纤维化对偶对应关系。
• 利用$∞$-范畴中伴随的普遍性质，推导lax与oplax结构的相干性数据。
• 分析伴随族中单位与余单位的行为，以确立对偶的扭曲自然性。
• 将该框架应用于对称张量函子，证明lax对称张量函子的左伴随继承了oplax结构。
• 通过纤维化对偶对应关系，验证在闭对称张量$∞$-范畴中，内部态射函子在每个变量上都是lax对称张量函子。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将经典对偶对应关系扩展到$∞$-范畴中(op)lax自然变换的背景？
• RQ2 在$∞$-范畴设定中，lax对称张量函子的左伴随继承了何种结构？
• RQ3 在闭对称张量$∞$-范畴中，内部态射函子在每个变量上是否为lax对称张量函子，以及如何从范畴论角度证明这一点？
• RQ4 伴随族的单位与余单位如何贡献于$∞$-范畴中对偶的自然性？
• RQ5 能否从伴随的纤维化结构推导出对偶化的完整扭曲自然性？

主要发现

• 在$∞$-范畴之间，lax对称张量函子的左伴随是oplax对称张量函子。
• 在闭对称张量$∞$-范畴中，内部态射函子在每个变量上都是lax对称张量函子。
• 纤维化对偶对应关系为$(∞,2)$-范畴中(op)lax变换的处理提供了相干的框架。
• 伴随族的单位与余单位产生了对偶操作的完整扭曲自然性。
• 纤维化方法使得$∞$-范畴中对称张量结构的相干性数据得以系统推导。
• 该框架统一了高阶范畴论中伴随、张量结构与对偶性的处理。