[论文解读] Orthogonal projection of a test configuration to vector fields

Tomoyuki Hisamoto|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 24被引用 8

一句话总结

本文通过证明权重分布的矩收敛性，建立了测试配置在全纯向量场上的正交投影的解析极限。它表明投影的$L^p$-范数收敛于与该测试配置相关联的弱测地线射线的切向量的$L^p$-范数，从而对Székelyhidi引入的代数投影给出了更精细的解析刻画。

ABSTRACT

Given a polarized complex manifold, projection of a torus-equivariant test configuration to holomorphic vector fields was introduced by G. Székelyhidi, as the limit of the associated $\mathbb{C}^*$-actions. We show that there actually holds the moment convergence of the weight distributions. Our analytic approach at the same time specifies the limit in terms of the weak geodesic ray associated with the test configuration. Related to the result, we discuss about the reduced $L^p$-norm of the test configuration in attempt to describe the uniform K-stability of the polarization relative to the automorphism group.

研究动机与目标

• 提供对Székelyhidi先前以代数方式定义的测试配置在全纯向量场上的正交投影的解析描述。
• 建立投影权重的$L^p$-范数收敛于与测试配置相关联的弱测地线射线的切向量的$L^p$-范数。
• 通过矩收敛性，澄清代数投影$P_k(A_k)$与几何极限$P(\dot{\varphi}^0)$之间的关系。
• 通过将测试配置的约化$L^p$-范数与投影向量场的范数联系起来，支持一致K-稳定性的概念。

提出的方法

• 利用与$T$-等变正规测试配置$(\mathcal{X}, \mathcal{L})$相关联的弱测地线射线$\varphi^t$，在$t=0$处定义切向量$\dot{\varphi}^0$。
• 应用$dd^c$-引理，将$\mathcal{H}$中的切向量与光滑函数对应起来，并使用Monge-Ampère测度定义$L^2$内积。
• 通过表示空间上的Killing形式，构造正交投影$P_k: \mathfrak{sl}(H^0(\mathcal{X}_0, \mathcal{L}_0^{\tens k})) \to (\mathfrak{t}/\mathbb{C})_{\mathbb{R}}$。
• 利用等变Riemann-Roch-Hirzebruch定理，分析当$k \to \infty$时迹$\operatorname{Tr}A_k^p$和$\operatorname{Tr}A_k B_{j,k}$的渐近行为，证明系数的有理性。
• 通过恒等式$2\operatorname{Tr}A_k B_{j,k} = \operatorname{Tr}(A_k + B_{j,k})^2 - \operatorname{Tr}A_k^2 - \operatorname{Tr}B_{j,k}^2$证明矩收敛性，从而得到有理系数。
• 通过基变换$\tau \mapsto \tau^d$将问题约化为1-PS作用的情形，随后构造一个生成元为$A - B$的修正测试配置$\mathcal{X}'$，并证明其$L^2$-范数为零，从而得出$A_1 = B_1$。

实验结果

研究问题

• RQ1 当$k \to \infty$时，权重矩阵$A_k$在李代数$\mathfrak{t}/\mathbb{C}$上的代数投影$P_k(A_k)$是否收敛于一个解析极限？
• RQ2 投影权重的$L^p$-范数的极限是否可表示为与弱测地线射线相关联的哈密顿函数的$p$次幂的积分？
• RQ3 弱测地线射线的初始切向量$\dot{\varphi}^0$是否是有理线性组合的哈密顿函数，这些哈密顿函数对应于环面$T$的1-PS生成元？
• RQ4 若修正测试配置的$L^2$-范数为零，是否意味着该配置平凡，从而恢复原始生成元？
• RQ5 矩收敛结果如何支持通过测试配置的约化$L^p$-范数来定义一致K-稳定性的观点？

主要发现

• 矩收敛成立：对所有$p \geq 1$，有$\lim_{k\to\infty} \frac{\operatorname{Tr}P_k(A_k)^p}{k^p N_k} = \frac{1}{V} \int_X P(\dot{\varphi}^0)^p \omega^n$，从而确立了代数投影的精确解析极限。
• 与弱测地线射线初始切向量相关联的哈密顿函数$\dot{\varphi}^0$是有理线性组合的哈密顿函数，这些哈密顿函数对应于环面$T$的1-PS生成元，证明了极限投影的有理性。
• 当配置通过基变换变为多重根时，测试配置的生成元$A_k$与1-PS作用的生成元$B_k$重合，从而有$A_1 = B_1$。
• 生成元为$A - B$的修正测试配置$\mathcal{X}'$的$L^2$-范数为零，即$\| (\mathcal{X}', \mathcal{L}') \|_2 = 0$，根据[BHJ15]可推出其平凡性，故$A_1 = B_1$。
• 该结果为[His12]中$\mathbb{C}^*$-情形的收敛结果提供了新的解析证明，并将其推广至任意环面作用。
• 收敛结果支持通过约化$L^p$-范数来定义一致K-稳定性，因为投影的极限范数与测地线射线切向量的$L^p$-范数一致。