[论文解读] Out-of-Time-Order Correlation Functions for Unitary Minimal Models

Ruihua Fan|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2018

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 2被引用 6

一句话总结

该论文利用共形对称性和库仑气形式，对二维幺正极小模型中空间分离的初级算符的非序时间相关函数（OTOCs）进行了精确的解析计算。结果表明，早期 OTOC 呈现幂律衰减，且指数为分数阶，而晚期 OTOC 则通过模 S 矩阵以指数方式趋近于一个非零值，不同 OPE 通道通过编织矩阵相互关联——这为非混沌、有限 N 的共形场论中的完整时间演化提供了精确的解析控制。

ABSTRACT

We analytically study the Out-of-Time-Order Correlation functions (OTOC) for two spatially separated primary operators in two-dimensional unitary minimal models. Besides giving general arguments using the conformal symmetry, we also use the Coulomb gas formalism to explicitly calculate the OTOC across the full time regime. In contrast to large-$N$ chaotic systems, these models do not display a separation of time scales, due to the lack of a large parameter. We find that the physics at early times ($0

研究动机与目标

• 在二维幺正极小模型中，对非序时间相关函数（OTOCs）在整个时间区间内提供一种解析且精确的计算。
• 理解非混沌、有限 N 的共形场论中 OTOC 的早期与晚期动力学之间的相互作用，与大 N 混沌系统形成对比。
• 阐明不同算符乘积展开（OPE）通道在早期与晚期时间区域中的作用，这些通道通过编织矩阵相互关联。
• 将结果推广至极小模型之外的有理共形场论（RCFTs）。

提出的方法

• 利用共形对称性和库仑气形式，在幺正极小模型中精确计算四点相关函数。
• 应用第二 sheet 效应以区分 OTOC 与正常序相关函数（NOCs），从而实现在复平面上的解析延拓。
• 通过 Pochhammer 围道表示超几何函数的积分形式，以处理相关函数中多值解析结构。
• 通过显式库仑气计算，将不同通道（早期与晚期时间）中的 OPE 展开进行匹配，以验证一致性。
• 利用模 S 矩阵确定归一化 OTOC 的晚期值，确认与先前结果的一致性。
• 通过比较 OTOC 与 NOC 在不同时间区域的行为，推导 OTOC 比值 $ f(t) = C_1(t)/C_2(t) $ 的行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在幺正极小模型中，OTOC 如何在整个时间演化过程中表现，特别是在缺乏大 N 参数的情况下？
• RQ2 是什么决定了 OTOC 的早期幂律衰减和晚期趋近于非零值的指数行为？
• RQ3 控制 OTOC 早期与晚期行为的不同 OPE 通道之间如何关联？编织矩阵在此过程中起什么作用？
• RQ4 为何 OTOC 的晚期值不为零，而是趋近于一个非零值？该值如何与模 S 矩阵相关联？
• RQ5 这些结果在多大程度上可以推广至极小模型之外的有理共形场论？

主要发现

• 归一化 OTOC 在早期时间（$ 0 < t - x \ll \beta $）表现出具有分数阶指数的幂律衰减，表明非混沌、非指数性混淆。
• 在晚期时间（$ t - x \gg \beta $），OTOC 以指数方式趋近于一个非零常数值，其行为由模 S 矩阵决定，与早期计算结果一致。
• 早期与晚期时间区域由不同的 OPE 通道控制，这些通道通过编织矩阵相互关联，反映出共形场论中的拓扑数据。
• OTOC 的晚期值通常非零，且由模 S 矩阵决定，证实了拓扑不变量在热相关函数中的作用。
• OTOC 比值 $ f(t) = C_1(t)/C_2(t) $ 展现出不同的时间演化行为，早期 OTOC 的衰减速度快于 NOC，表明在无大 N 极限下发生信息混淆。
• 结果可完全推广至所有有理共形场论，将解析控制范围从极小模型进一步扩展。