[论文解读] Overconvergent global analytic geometry

Frédéric Paugam|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 42被引用 4

一句话总结

本文引入了在一般Banach环上的过度收敛全局解析几何，统一了Berkovich与Poineau的解析空间，以及Groﯼ{e}r-Kl"{o}nne的$p$-进过度收敛空间和Bambozzi的阿基米德类比。它构建了过度收敛动机、稳定同伦理论，以及一个从解析$K$-理论到循环同调的导出Chern示性类，使得特殊$L$-值的积分实现无需分母。

ABSTRACT

We define a notion of global analytic space with overconvergent structure sheaf. This gives an analog on a general base Banach ring of Grosse-Kloenne's overconvergent p-adic spaces and of Bambozzi's generalized affinoid varieties over R. This also gives an affinoid version of Berkovich's and Poineau's global analytic spaces. This affinoid approach allows the introduction of a notion of strict global analytic space, that has some relations with the ideas of Arakelov geometry, since the base extension along the identity morphism on Z (from the archimedean norm to the trivial norm) sends a strict global analytic space to a usual scheme over Z, that we interpret here as a strict analytic space over Z equipped with its trivial norm. One may also interpret some particular analytification functors as mere base extensions. We use our categories to define overconvergent motives and an overconvergent stable homotopy theory of global analytic spaces. These have natural Betti, de Rham and pro-étale realizations. Motivated by problems in global Hodge theory and integrality questions in the theory of special values of arithmetic L-functions, we also define derived overconvergent global analytic spaces and their (derived) de Rham cohomology. Finally, we use Toen and Vezzosi's derived geometric methods to define a natural (integral) Chern character on analytic Waldhausen's K-theory with values in analytic cyclic homology. The compatibility of our constructions with Banach base extensions gives new perspectives both on global analytic spaces and on the various realizations of the corresponding motives.

研究动机与目标

• 开发一个在一般Banach环上的全局解析几何统一框架，涵盖$p$-进与阿基米德情形。
• 通过过度收敛幂级数扩展Berkovich与Poineau的解析空间，确保与$p$-进和阿基米德几何的兼容性。
• 为具有Betti、de Rham与pro-étale实现代数的解析空间定义过度收敛动机与稳定同伦理论。
• 从解析Waldhausen $K$-理论到循环同调构造一个导出Chern示性类，实现特殊$L$-值的积分上同调规。
• 通过在导出全局解析设定中使用积分Chern示性类，避免算术$L$-函数特殊值公式中的分母。

提出的方法

• 引入dagger代数作为过度收敛幂级数环$R\{\rho^{-1}T\}^\dagger$，定义为所有$\nu > \rho$的收敛幂级数环$R\{\nu^{-1}T\}$的滤子余极限。
• 将dagger解析空间定义为以dagger代数为局部环的局部环空间，其拓扑由有理域与Tate的层零定理诱导。
• 通过dagger解析空间上的层的稳定同伦理论构建全局解析动机，具有Betti、de Rham与pro-étale实现代数。
• 发展导出dagger代数与dagger余切复形，以定义全局解析空间的导出de Rham上同调。
• 应用Toen-Vezzosi的导出几何，定义自然的积分Chern示性类$\mathbf{K}(X) \to \mathbf{HC}^{\text{neg}}(X)$，其值在负循环同调谱中。
• 通过沿恒等态射的基变换（例如从$\mathbb{Z}$的阿基米德范数到平凡范数），将严格全局解析空间解释为概形，从而与Arakelov几何建立联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在一个统一的框架中，将过度收敛$p$-进几何、阿基米德几何与Berkovich的解析几何统一于一般Banach环之上？
• RQ2 在非阿基米德与阿基米德域上，过度收敛幂级数是否能提供全局解析几何中仿射代数的良好类比？
• RQ3 如何为具有Betti、de Rham与pro-étale实现代数的解析空间定义稳定同伦理论与动机？
• RQ4 能否从解析Waldhausen $K$-理论到循环同调构造一个避免特殊$L$-值公式中分母的导出Chern示性类？
• RQ5 导出全局解析形式化能在多大程度上提供Arakelov动机上同调的积分版本？

主要发现

• 本文在任意Banach环上构建了过度收敛全局解析空间的范畴，推广了Berkovich与Poineau的解析空间。
• 它定义了过度收敛动机与解析空间的稳定同伦理论，具有自然的Betti、de Rham与pro-étale实现代数。
• 导出dagger余切复形使得全局解析空间的导出de Rham上同调得以定义。
• 构造了一个自然的积分Chern示性类$\mathbf{K}(X) \to \mathbf{HC}^{\text{neg}}(X)$，其与基变换相容，并扩展了Toen-Vezzosi的形式化。
• 该形式化允许从阿基米德范数到平凡范数的基变换，将严格全局解析空间转化为$\mathbb{Z}$上的普通概形，从而与Arakelov几何建立联系。
• Chern示性类的构造避免了特殊$L$-值公式中的分母，提示了算术$L$-函数中积分规的可能路径。