[论文解读] Overconvergent relative de Rham cohomology over the Fargues-Fontaine curve

Arthur-César Le Bras|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用 7

一句话总结

本文为定义在 $\mathbf{C}_p$ 上的分离的拟紧光滑刚性空间构建了一个超收敛的相对 de Rham 上同调理论，其取值于法加-方丹曲线上的向量丛。该理论推广了半稳定形式模型下的伊吹-本多上同调，并通过刚性动机的阿约布范畴实现了Scholze的猜想。

ABSTRACT

We explain how to construct a cohomology theory on the category of separated quasi-compact smooth rigid spaces over $\mathbf{C}_p$ (or more general base fields), taking values in the category of vector bundles on the Fargues-Fontaine curve, which extends (in a suitable sense) Hyodo-Kato cohomology when the rigid space has a semi-stable proper formal model over the ring of integers of a finite extension of $\mathbf{Q}_p$. This cohomology theory factors through the category of rigid analytic motives of Ayoub.

研究动机与目标

• 为定义在 $\mathbf{C}_p$ 上的光滑刚性空间构造一个上同调理论，该理论在半稳定情形下推广了伊吹-本多上同调。
• 将该理论实现为取值于 $p$-进霍奇理论中核心对象——法加-方丹曲线上的向量丛。
• 通过证明该上同调理论可因式分解至阿约布的刚性解析动机范畴，从而证明 Scholze 的一个猜想。
• 利用法加-方丹曲线的几何框架，统一并扩展现有的 $p$-进上同调理论。
• 在 $p$-进几何与霍奇理论的背景下，为超收敛 de Rham 上同调提供动机解释。

提出的方法

• 在定义在 $\mathbf{C}_p$ 上的分离的拟紧光滑刚性空间范畴上构造一个上同调理论 $\mathcal{FF}$。
• 利用拟-étale 周期层与去偏函子，将 $p$-进上同调不变量与法加-方丹曲线上的向量丛联系起来。
• 应用阿约布的刚性解析动机理论，使该上同调理论因式分解至动机范畴。
• 利用法加-方丹曲线作为 $p$-进霍奇理论的几何模型，借助其商结构 $X = Y/\varphi^{\mathbb{Z}}$。
• 通过在 $\mathcal{O}_K$ 上存在半稳定正规形式模型，建立与伊吹-本多上同调的相容性。
• 利用在阿迪克空间 $Y$ 及其完备化上的弗罗贝尼乌斯作用 $\varphi$，通过模 $\varphi^{\mathbb{Z}}$ 的商构造曲线 $X$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为定义在 $\mathbf{C}_p$ 上的刚性空间构造一个相对 de Rham 上同调理论，使其推广伊吹-本多上同调？
• RQ2 法加-方丹曲线在何种意义上作为 $p$-进霍奇结构的通用参数空间？
• RQ3 该上同调理论是否可因式分解至阿约布的刚性解析动机范畴？
• RQ4 超收敛 de Rham 上同调与法加-方丹曲线的几何之间存在何种关系？
• RQ5 该构造如何实现 Scholze 关于 $p$-进上同调的动机性质的猜想？

主要发现

• 本文构造了一个取值于法加-方丹曲线上向量丛的上同调理论 $\mathcal{FF}$。
• $\mathcal{FF}$ 推广了在 $\mathcal{O}_K$ 上具有半稳定正规形式模型的刚性空间上的伊吹-本多上同调。
• 上同调理论 $\mathcal{FF}$ 可因式分解至阿约布的刚性解析动机范畴。
• 该构造通过法加-方丹曲线为 $p$-进霍奇理论提供了几何实现。
• 该理论与弗罗贝尼乌斯作用及曲线作为商 $Y/\varphi^{\mathbb{Z}}$ 的结构相容。
• 该结果确认了 Scholze 关于存在取值于法加-方丹曲线上向量丛的动机 $p$-进上同调理论的猜想。