[论文解读] The pro-étale topology for schemes

Bhargav Bhatt, Peter Scholze|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用 74

一句话总结

本文引入了概形上的pro-étale拓扑，这是一种新的格罗滕迪克拓扑，简化了构造Qℓ-层的导出范畴的定义，并实现了Qℓ-同伦型的直接构造。通过在pro-étale概形上定义Qℓ-模层，作者建立了一个几何直观的框架，其中平展层与构造层被自然地刻画出来，并定义了一个pro-étale基本群，该群即使在非正规概形上也能捕捉所有平展Qℓ-层。

ABSTRACT

We give a new definition of the derived category of constructible $\ell$-adic sheaves on a scheme, which is as simple as the geometric intuition behind them. Moreover, we define a refined fundamental group of schemes, which is large enough to see all lisse $\ell$-adic sheaves, even on non-normal schemes. To accomplish these tasks, we define and study the pro-étale topology, which is a Grothendieck topology on schemes that is closely related to the étale topology, and yet better suited for infinite constructions typically encountered in $\ell$-adic cohomology. An essential foundational result is that this site is locally contractible in a well-defined sense.

研究动机与目标

• 为概形上的构造Qℓ-层导出范畴提供一个几何直观的定义。
• 定义一个能捕捉所有平展Qℓ-层的基本群，即使在非正规概形上也成立。
• 通过pro-étale概形上的导出整体截面，直接构造一个可计算的Qℓ-同伦型。
• 通过用行为良好的拓扑替代逆极限构造，解决ℓ-进上同调中的技术障碍。

提出的方法

• 引入pro-étale概形Xproét作为具有fpqc覆盖的弱étale X-概形的范畴。
• 在Xproét上将平展与构造Qℓ-层定义为有限秩的局部自由且分层的层。
• 利用pro-étale拓扑，将Db_c(X, Qℓ)定义为具有构造上同调的有界复形的全三角子范畴。
• 证明pro-étale拓扑是局部可缩的，从而确保良好的同伦性质。
• 将Qℓ-同伦型构造为RΓ(Xproét, Qℓ)，即一个交换微分分次Qℓ-代数。
• 将pro-étale基本群πproét₁(X, x)定义为平展Qℓ-层范畴上纤维函子的自同构群。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在不使用逆极限的情况下，直接在单一概形上定义构造Qℓ-层的导出范畴？
• RQ2 pro-étale拓扑是否允许对Qℓ-同伦型进行几何自然的构造？
• RQ3 是否可以定义一个能对所有平展Qℓ-层进行分类的基本群，即使在非正规概形上也成立？
• RQ4 pro-étale拓扑是否具有支持同伦构造的局部可缩性？

主要发现

• pro-étale概形Xproét是局部可缩的，确保了良好的同伦行为，并使得Qℓ-同伦型可构造为RΓ(Xproét, Qℓ)。
• 导出范畴Db_c(X, Qℓ)等价于Db_c(X, Z/ℓ^nZ)在张量积Qℓ下的极限，但现在直接在Xproét上定义。
• pro-étale基本群πproét₁(X, x)足够大，能够对所有平展Qℓ-层进行分类，即使X不是正规的。
• 对于几何单连通的概形，πproét₁(X, x) ≃ πét₁(X, x)，表明与经典étale基本群的一致性。
• πproét₁(X, x)的连续有限维Qℓ-表示范畴恢复了平展Qℓ-层的范畴。
• pro-étale拓扑解决了非正规概形中非交换单值性的问题，如示例7.4.9所示，其阿贝尔单值性失效。