[论文解读] $p$-adic Distance, Finite Precision and Emergent Superdeterminism: A Number-Theoretic Consistent-Histories Approach to Local Quantum Realism

T. N. Palmer|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2016

Quantum Mechanics and Applications参考文献 32被引用 3

一句话总结

本文提出了一种局部因果、符合现实的量子理论——不变集理论（Invariant Set Theory），其中超决定论自然地源于使用 $p$-进度量对态空间轨迹施加的数论约束。通过将希尔伯特空间向量重新解释为余弦等超越函数的有限比特描述，该模型在不违背实验者自由意志的前提下解释了贝尔不等式的违背，为测量问题和量子引力提供了新颖的、非阴谋论的解决方案。

ABSTRACT

Although the notion of superdeterminism can, in principle, account for the violation of the Bell inequalities, this potential explanation has been roundly rejected by the quantum foundations community. The arguments for rejection, one of the most substantive coming from Bell himself, are critically reviewed. In particular, analysis of Bell's argument reveals an implicit unwarranted assumption: that the Euclidean metric is the appropriate yardstick for measuring distances in state space. Bell's argument is largely negated if this yardstick is instead based on the alternative $p$-adic metric. Such a metric, common in number theory, arises naturally when describing chaotic systems which evolve precisely on self-similar invariant sets in their state space. A locally-causal realistic model of quantum entanglement is developed, based on the premise that the laws of physics ultimately derive from an invariant-set geometry in the state space of a deterministic quasi-cyclic mono-universe. Based on this, the notion of a complex Hilbert vector is reinterpreted in terms of an uncertain selection from a finite sample space of states, leading to a novel form of `consistent histories' based on number-theoretic properties of the transcendental cosine function. This leads to novel realistic interpretations of position/momentum non-commutativity, EPR, the Bell Theorem and the Tsirelson bound. In this inherently holistic theory - neither conspiratorial, retrocausal, fine tuned nor nonlocal - superdeterminism is not invoked by fiat but is emergent from these `consistent histories' number-theoretic constraints. Invariant set theory provides new perspectives on many of the contemporary problems at the interface of quantum and gravitational physics, and, if correct, may signal the end of particle physics beyond the Standard Model.

研究动机与目标

• 重新评估超决定论作为量子力学基础的可行性，以应对量子基础学界普遍的排斥态度。
• 通过用 $p$-进度量替代态空间中的欧氏度量，解决局域实在论与贝尔不等式违背之间的张力。
• 构建一种理论，使量子力学成为一种确定性、分形态空间几何在 $N \to \infty$ 时的奇异极限，同时保持局域因果性。
• 通过有限实验精度和数论不相容性，将量子非定域性与实验者自由意志调和统一。
• 提出量子引力与暗能量源于确定性、准周期宇宙的态空间中不变集几何结构。

提出的方法

• 使用 $p$-进度量作为态空间中的基本距离度量，取代贝尔原始论证中假设的欧氏度量。
• 将宇宙建模为一个在自相似不变集 $I_U$ 上演化的确定性、准周期系统，该集合在局部同胚于 $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{R}$，其中 $\mathbb{Z}_2$ 为 2-进整数。
• 将量子态表示为 $2^N$-比特字符串有限样本空间中的不确定选择，将复希尔伯特向量与余弦函数的数论性质联系起来。
• 应用数论约束——特别是 $\cos\phi$ 和 $\phi/\pi$ 的有限比特可描述性——以定义相互不相容的一致历史。
• 在分形参数 $N \to \infty$ 的奇异极限下推导出薛定谔方程和狄拉克方程，使量子力学从一种确定性、有限精度的动力学中自然涌现。
• 通过混沌的穿插盆地动力学建模量子退相干，导致轨迹在不变集上自然聚类为测量本征态。

实验结果

研究问题

• RQ1 如果将态空间的距离度量从欧氏度量重新定义为 $p$-进度量，超决定论是否可以成为量子非定域性的可行、非阴谋论的解释？
• RQ2 在不依赖微调或反因果性的情况下，如何在保持局域实在论的同时仍违背贝尔不等式？
• RQ3 有限实验精度在确定性量子理论中如何保护实验者自由意志？
• RQ4 超越函数（如余弦）的数论性质如何导致量子力学结构与一致历史的形成？
• RQ5 量子引力与暗能量是否可从确定性、分形态空间不变集的几何结构中自然涌现？

主要发现

• 贝尔不等式的违背并非源于非定域性或阴谋，而是由于 $\cos\phi$ 与 $\phi/\pi$ 的有限比特描述之间存在数论上的不相容性，二者几乎总是互斥。
• 实验者自由意志得以保留，因为有限精度阻止了对 $\cos\phi$ 是否可有限描述的直接控制，从而即使在确定性下，结果仍为统计不可预测。
• 复希尔伯特空间及其关联的薛定谔/狄拉克方程作为 $N \to \infty$ 时的奇异极限而涌现，有限 $N$ 对应该确定性、离散的理论。
• 量子退相干通过混沌的穿插盆地动力学得到解释，轨迹在不变集上聚类，形成测量本征态的物理基础。
• 宇宙学常数自然很小，因为真空涨落不与引力耦合——这源于不变集的分形、测度为零的结构，避免了120个数量级的矛盾。
• 该理论暗示标准模型之外的粒子物理学将终结，因为不存在粒子（包括引力子）——引力是分形态空间流形上聚类的几何现象。