[论文解读] $p$-Adic Haar multiresolution analysis

V. M. Shelkovich, M. Skopina|ArXiv.org|Apr 5, 2007

advanced mathematical theories参考文献 25被引用 7

一句话总结

本文提出一种基于单位圆盘特征函数作为可缩函数的 $p$-进多分辨率分析（MRA），该函数满足一个自然的细化方程，反映了单位圆盘被分解为 $p$ 个半径为 $p^{-1}$ 的不相交圆盘的结构。当 $p=2$ 时，由此产生的哈尔 MRA 在 $L^2(\mathbb{Q}_2)$ 中生成无穷多个不同的正交小波基，这些基均源于同一个可缩函数，这是由于其具有周期 1 的性质——这一特征在实小波理论中不存在。

ABSTRACT

In this paper, the notion of {\em $p$-adic multiresolution analysis (MRA)} is introduced. We use a ``natural'' refinement equation whose solution (a refinable function) is the characteristic function of the unit disc. This equation reflects the fact that the characteristic function of the unit disc is the sum of $p$ characteristic functions of disjoint discs of radius $p^{-1}$. The case $p=2$ is studied in detail. Our MRA is a 2-adic analog of the real Haar MRA. But in contrast to the real setting, the refinable function generating our Haar MRA is periodic with period 1, which never holds for real refinable functions. This fact implies that there exist infinity many different 2-adic orthonormal wavelet bases in ${\cL}^2(\bQ_2)$ generated by the same Haar MRA. All of these bases are constructed. Since $p$-adic pseudo-differential operators are closely related to wavelet-type bases, our bases can be intensively used for applications.

研究动机与目标

• 开发经典实哈尔多分辨率分析的 $p$-进类比。
• 利用单位圆盘的特征函数作为可缩函数，研究 $p$-进 MRA 的结构。
• 探讨在 2-进设置下可缩函数周期性所带来的后果，该性质导致存在无穷多个不同的正交小波基。
• 构造由同一哈尔 MRA 生成的 $L^2(\mathbb{Q}_2)$ 中显式正交小波基。
• 建立这些小波基与 $p$-进伪微分算子之间的联系，特别是那些使小波成为特征函数的算子。

提出的方法

• 定义一种基于单位圆盘特征函数 $\chi_{\mathbb{Z}_p}$ 作为可缩函数的 $p$-进 MRA。
• 推导出反映单位圆盘被分解为 $p$ 个半径为 $p^{-1}$ 的不相交圆盘的细化方程，即 $\chi_{\mathbb{Z}_p}(x) = \sum_{k=0}^{p-1} \chi_{\mathbb{Z}_p}(p^{-1}(x - k))$。
• 证明当 $p=2$ 时，可缩函数具有周期 1 的性质，这一特性在实可缩函数中并不存在。
• 使用酉矩阵变换，通过模为 1 的复数对角酉矩阵参数化，从同一 MRA 生成所有可能的正交小波基。
• 通过可缩函数的平移与缩放版本的线性组合，利用类似傅里叶变换的系数构造显式的小波函数 $\psi^{(s)}(x)$。
• 验证所得小波系统为正交且属于 Lizorkin 空间 $\Phi(\mathbb{Q}_2)$，确保其与 $p$-进伪微分算子相容。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何定义一种 $p$-进多分辨率分析，使其推广经典实哈尔 MRA？
• RQ2 为何 2-进可缩函数 $\chi_{\mathbb{Z}_2}$ 具有周期 1 的性质？其对小波构造有何影响？
• RQ3 由单个 $p$-进哈尔 MRA 生成的所有正交小波基的结构是怎样的？
• RQ4 能否在 2-进情形下推导出所有此类小波基的显式公式？
• RQ5 这些小波基与 $p$-进伪微分算子之间存在何种关系，特别是在特征函数性质方面？

主要发现

• 该 $p$-进 MRA 使用单位圆盘的特征函数作为可缩函数，满足基于单位圆盘被划分为 $p$ 个半径为 $p^{-1}$ 的不相交圆盘的自然细化方程。
• 当 $p=2$ 时，可缩函数 $\chi_{\mathbb{Z}_2}$ 具有周期 1 的性质，这一特征在实可缩函数中不存在，且是导致存在无穷多个不同正交小波基的根本原因。
• 所有由同一哈尔 MRA 在 $L^2(\mathbb{Q}_2)$ 中生成的正交小波基均通过参数化为 $2^s$ 个模为 1 的复相位 $\gamma_k$ 的酉变换显式构造，形成连续的小波族。
• 当相位 $\gamma_k$ 满足特定三角约束（如 $s=2$ 时的 $\sin\theta_1 = -\sin\theta_4$，$\cos\theta_1 = \cos\theta_4$ 等）时，小波函数 $\psi^{(s)}(x)$ 为实值，从而产生一维实小波族。
• 所构造的小波具有紧支集，属于 Lizorkin 空间 $\Phi(\mathbb{Q}_2)$，且是 $p$-进伪微分算子的特征函数，特别是伏拉基米罗夫分数阶算子。
• 小波系统 $\{\psi_{\gamma a}^{(s)}(x)\}$ 构成 $L^2(\mathbb{Q}_2)$ 中的正交基，且满足 $\int_{\mathbb{Q}_2} \psi_{\gamma a}^{(s)}(x)\,dx = 0$，确认了其小波性质。