[论文解读] P-adic heights and p-adic Hodge theory

Denis Benois|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 7被引用 5

一句话总结

本文利用 $(\varphi,\Gamma)$-模与 Selmer 复形，为定义在 $\mathbf{Q}_p$ 上的仿射环上的 $p$-进表示构造了 $p$-进高度配对，将其与普遍范数及 Nekovář 对于潜在半单表示的 $p$-进高度配对联系起来。关键贡献是一个比较定理，表明在适当条件下，新配对与 Nekovář 的配对一致，从而将理论扩展至非阿基米德局部域。

ABSTRACT

Using the theory of $(ϕ,Γ)$-modules and the formalism of Selmer complexes we construct the p-adic height for p-adic representations with coefficients in an affinoid algebra over $Q_p$.

研究动机与目标

• 将 $p$-进高度配对推广至系数属于 $\mathbf{Q}_p$ 上仿射代数的 $p$-进表示，使用先进的上同调工具。
• 在 Iwasawa 理论与 $(\varphi,\Gamma)$-模的背景下，将所构造的配对与普遍范数联系起来。
• 将新 $p$-进高度配对与 Nekovář 对于潜在半单表示的经典构造进行比较。
• 通过 Bockstein 映射与上同调范畴中的上积，建立新配对与 Nekovář 高度配对之间的比较同构。
• 利用分裂子模与滤子，将 $p$-进高度理论扩展至扩展的 Selmer 群与 Iwasawa 上同调。

提出的方法

• 使用基于仿射代数上 $(\varphi,\Gamma)$-模定义的局部条件的 Selmer 复形形式化。
• 将 $p$-进高度配对构造为上同调范畴中上积与 Bockstein 映射 $\beta_{T,M}$ 的复合。
• 应用 $(\varphi,\Gamma)$-模理论，将上同调群与 Iwasawa 上同调联系起来，并扩展 Selmer 群。
• 引入分裂子模及其相关滤子，以分析局部扩张并与普遍范数进行比较。
• 利用 Bockstein 映射与转置同构，关联上同调类，并通过上积构造配对。
• 使用 Iwasawa 上同调复形 $H^1_{\mathrm{Iw}}(\mathbf{D})$ 与投影 $\mathrm{pr}_{\mathbf{D},y}$，关联全局类与局部类。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 $p$-进高度配对推广至系数属于 $\mathbf{Q}_p$ 上仿射代数的 $p$-进表示？
• RQ2 新 $p$-进高度配对与 Iwasawa 理论中普遍范数构造之间存在何种关系？
• RQ3 新配对与 Nekovář 对于潜在半单表示的 $p$-进高度配对相比如何？
• RQ4 能否通过分裂子模与滤子将配对扩展至扩展的 Selmer 群？
• RQ5 $(\varphi,\Gamma)$-模与 Bockstein 映射在构造与比较这些配对中起什么作用？

主要发现

• 所构造的 $p$-进高度配对 $h^{\mathrm{sel}}_{V,D}$ 与 Nekovář 的配对一致，至多相差一个涉及配对 $\left<\rho_{\mathbf{D},f}([x_{p}^{+}]), \rho_{\mathbf{D}^\perp,f}([y_{p}^{+}])\right>_{\mathbf{D},f}$ 的校正项。
• 证明了配对 $h^{\mathrm{sel}}_{V,D}$ 等于 $h^{\mathrm{norm}}_{V,D}$ 加上一个来自类 $[x_{p}^{+}]$ 在映射 $\rho_{\mathbf{D},f}$ 下像的校正项。
• 该构造与 Iwasawa 上同调复形相容，且类 $[x_{p,y}^{\mathrm{Iw}}]$ 满足与 $a^{\mathrm{Iw}}$ 和 $b^{\mathrm{Iw}}$ 相关的投影与相容性条件。
• 类 $[x_{p,y}^{\mathrm{Iw}}]$ 在 $\mathrm{pr}_{\mathbf{D},y}$ 下的像属于 $s_{y,p}(a) + b$，其中 $b \in \ker(\ell_{\mathbf{Q}_p})$。
• 不变量 $\mathrm{inv}_p(g_{p,y}(\widehat{b}_p) \cup f_p^\perp(\widehat{y}) + g_p(b_p) \cup \mu_p)$ 等于 $\ell_{\mathbf{Q}_p}(u_p) - \ell_{\mathbf{Q}_p}(t_p \cup g_p(y_p^+))$，与配对公式一致。
• 最终的比较定理确认了 $h^{\mathrm{sel}}_{V,D}([x_f],[y_f]) = h^{\mathrm{norm}}_{V,D}([x],[y]) + \left<\rho_{\mathbf{D},f}([x_{p}^{+}]), \rho_{\mathbf{D}^\perp,f}([y_{p}^{+}])\right>_{\mathbf{D},f}$。