[论文解读] P-adic metric preserving functions and their analogues

Robert W. Vallin, Oleksiy Dovgoshey|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2019

advanced mathematical theories参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文研究从 $ \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+ $ 的函数 $ f $，这些函数保持 $ \mathbb{Q}_p $ 上的 $ p $-进非阿基米德度量 $ d_p $，表明 $ f \circ d_p $ 仍为非阿基米德度量当且仅当 $ f $ 可分解为函数 $ g $，使得对任意非阿基米德度量 $ d $，均有 $ g \circ d $ 为非阿基米德度量。主要贡献在于利用 $ d_p $ 的值域的序理论性质，对 $ p $-进度量保持函数进行了刻画，推广了已知的非阿基米德度量保持结果。

ABSTRACT

The $p$-adic completion $\mathbb{Q}_p$ of the rational numbers induces a different absolute value $|\cdot|_p$ than the typical $| \cdot |$ we have on the real numbers. In this paper we compare and contrast functions $f \colon \mathbb{R}^{+} o \mathbb{R}^{+}$, for which the composition with the $p$-adic metric $d_p$ generated by $|\cdot|_p$ is still a metric on $\mathbb{Q}_p$, with the usual metric preserving functions and the functions that preserve the Euclidean metric on $\mathbb{R}$. In particular, it is shown that $f \circ d_p$ is still an ultrametric on $\mathbb{Q}_p$ if and only if there is a function $g$ such that $f \circ d_p = g \circ d_p$ and $g \circ d$ is still an ultrametric for every ultrametric $d$. Some general variants of the last statement are also proved.

研究动机与目标

• 刻画函数 $ f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+ $，使得 $ f \circ d_p $ 在 $ \mathbb{Q}_p $ 上仍为非阿基米德度量，其中 $ d_p $ 为 $ p $-进度量。
• 将 $ p $-进度量保持函数与在 $ \mathbb{R} $ 上的经典度量和非阿基米德度量保持函数进行比较和对照。
• 利用偏序集理论，将已知的非阿基米德度量保持函数刻画推广至更广泛的非阿基米德度量空间类别。
• 建立 $ f \circ d_p $ 为非阿基米德度量的必要与充分条件，将 $ f $ 的结构与 $ d_p $ 的值域的序类型联系起来。

提出的方法

• 定义 $ p $-进赋值 $ \text{ord}_p(x) $ 及其关联的 $ p $-进绝对值 $ |\cdot|_p $，从而在 $ \mathbb{Q}_p $ 上导出非阿基米德度量 $ d_p(x,y) = |x - y|_p $。
• 利用强三角不等式 $ d_p(x,y) \leq \max\{d_p(x,z), d_p(z,y)\} $ 来刻画非阿基米德度量空间，并识别非阿基米德范数的作用。
• 引入 $ d_p $ 值域上的可容许映射与保序映射概念，将函数行为与度量空间的序理论性质联系起来。
• 应用偏序集理论分析一类非阿基米度量 $ U $ 的值域 $ \text{Ran}_{U} $ 的结构，并在 $ \text{Ran}_{U} $ 上定义偏序 $ \preccurlyeq_U $。
• 证明对所有 $ (X,d) \in U $，$ f \circ d $ 为非阿基米德度量当且仅当 $ f $ 关于 $ \preccurlyeq_U $ 是保序且可容许的，从而推广了已知结果。
• 利用从 $ \text{Ran}_U $ 的子集到 $ \mathbb{R}^+ $ 的保序扩张存在性，构造出保持非阿基米德度量性的函数 $ f $，其依赖于 $ \text{Ran}_U $ 的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，函数 $ f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+ $ 保持 $ p $-进非阿基米德度量 $ d_p $，即 $ f \circ d_p $ 在 $ \mathbb{Q}_p $ 上仍为非阿基米德度量？
• RQ2 $ p $-进度量保持函数与在 $ \mathbb{R} $ 上的经典非阿基米德度量保持函数之间有何关系？
• RQ3 当 $ d_p $ 的值域满足何种条件时，函数 $ f $ 可被扩展以在所有非阿基米德度量空间中保持非阿基米德度量性？
• RQ4 如何利用偏序集理论与保序映射理论来刻画保持某一类非阿基米德度量的函数？
• RQ5 对于 $ f \circ d_p $ 仍为非阿基米德度量的情况，对 $ f $ 的结构有何必要且充分的约束，特别是当 $ d_p $ 的值域非全序或其上确界不在值域中时？

主要发现

• $ f \circ d_p $ 是 $ \mathbb{Q}_p $ 上的非阿基米德度量当且仅当存在函数 $ g $，使得 $ f \circ d_p = g \circ d_p $ 且对每个非阿基米德度量 $ d $，均有 $ g \circ d $ 为非阿基米德度量，从而在 $ p $-进与一般非阿基米德度量保持之间建立了深刻联系。
• $ d_p $ 的值域 $ \text{Ran}_{d_p} $ 是 $ \{0\} \cup \{p^n : n \in \mathbb{Z}\} $ 的子集，该集合在偏序 $ \preccurlyeq_{d_p} $ 下的结构决定了 $ p $-进度量保持函数的类。
• 若偏序集 $ (\text{Ran}_{U}, \preccurlyeq_U) $ 非全序，则除非 $ f $ 满足强保序性与可容许性条件，否则无法保持 $ U $ 中的所有非阿基米德度量。
• 若 $ T_U^0 = \sup \text{Ran}_U^0 $ 存在但 $ T_U^0 \notin \text{Ran}_U $，则任何实值且保序的 $ f $ 都不能在 $ \text{Ran}_U $ 上有界，从而导致矛盾。
• $ f $ 在 $ \text{Ran}_{d_p} $ 上可容许且保序当且仅当 $ f \circ d_p $ 为非阿基米德度量，且此类函数可通过保序扩张从 $ \text{Ran}_{d_p} $ 扩展至 $ \mathbb{R}^+ $。
• 对于可嵌入 $ \mathbb{R}^2 $ 的有限非阿基米德度量空间，定理 5.8 的条件成立，且 $ f $-保持函数的刻画可简化为度量值域的序理论结构。