[论文解读] $p$-Adic multiresolution analyses

S. Albeverio, С. А. Евдокимов+1 more|ArXiv.org|Oct 7, 2008

advanced mathematical theories参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文对 $p$-adic 多分辨率分析（MRA）进行了完整表征，证明只有 1-周期测试函数可作为正交尺度函数，且所有此类函数均生成 Haar MRA。本文提出一种从任意 MRA 构造小波框架的构造性方法，证明任意一组小波函数即使不具备正交性，也能构成 $p$-adic 小波框架。

ABSTRACT

We study $p$-adic multiresolution analyses (MRAs). A complete characterisation of test functions generating a MRA (scaling functions) is given. We prove that only 1-periodic test functions may be taken as orthogonal scaling functions and that all such scaling functions generate Haar MRA. We also suggest a method of constructing sets of wavelet functions and prove that any set of wavelet functions generates a $p$-adic wavelet frame.

研究动机与目标

• 完整表征可生成 $p$-adic 多分辨率分析（MRA）的测试函数类。
• 解决在 $p$-adic 设置下是否存在除 Haar MRA 外的正交尺度函数这一开放问题。
• 为从任意给定的 $p$-adic MRA 构造小波框架提供通用方法，即使小波不正交。
• 通过利用 $\mathbb{Q}_p$ 上所有 $p$-adic 平移下的不变性，克服 $\mathbb{Q}_p$ 中非离散群结构带来的挑战。
• 建立测试函数生成非正交 MRA 的判据，将理论扩展至非正交情形。

提出的方法

• 以细化方程 $ \varphi(x) = \sum_{r=0}^{p-1} \varphi\left(\frac{x}{p} - \frac{r}{p}\right) $ 作为 $p$-adic MRA 中尺度函数的核心条件。
• 在 $\mathbb{Q}_p$ 上应用傅里叶分析，利用加法特征 $ \chi_p(\xi x) = e^{2\pi i \{\xi x\}_p} $ 分析尺度函数与小波函数的谱性质。
• 通过三角多项式与 $p$-adic 分数部分定义小波掩模 $ n_0^{(\nu)}(\xi) $，从尺度函数构造小波函数。
• 通过验证平移小波张成的子空间在 $p$-adic 球上关于积分正交且包含于 $W_0$，建立小波框架生成的条件。
• 利用细化掩模与小波掩模系数多项式的结式，确保不存在非平凡解，从而保证小波平移的线性无关性。
• 通过证明相关框架算子有界且可逆，证明小波系统构成框架，依赖于结式的非零性。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些 $p$-adic 测试函数可生成正交多分辨率分析？
• RQ2 是否存在非 1-周期的 $p$-adic MRA 尺度函数？
• RQ3 从给定 $p$-adic MRA 构造小波框架的通用方法是什么，即使小波不正交？
• RQ4 如何补偿 $\mathbb{Q}_p$ 中缺乏离散平移子群的缺陷，以维持 MRA 结构？
• RQ5 在何种条件下，由尺度函数导出的一组小波函数构成 $L^2(\mathbb{Q}_p)$ 中的框架？

主要发现

• 仅 1-周期测试函数可作为 $p$-adic MRA 中的正交尺度函数，且所有此类函数均生成 Haar MRA。
• Haar MRA 是唯一由正交尺度函数生成的 $p$-adic MRA，且其可生成无穷多个标准正交小波基。
• 通过所提方法构造的任意一组小波函数均构成 $p$-adic 小波框架，即使小波不正交。
• 当细化掩模 $ m_0 $ 的次数满足 $ \deg m_0 \leq (p-1)p^N $ 时，小波构造有效，确保结式非零。
• 细化掩模与小波掩模系数多项式的结式非零，当且仅当掩模无公共零点，从而保证小波平移的线性无关性。
• 满足框架条件，因为平移小波张成的子空间与 $ V_0 $ 正交且包含于 $ W_0 $，且系统在 $ W_0 $ 中完备。