[论文解读] $p$-Adic multiresolution analysis and wavelet frames

Sergio Albeverio, С. А. Евдокимов+1 more|ArXiv.org|Feb 8, 2008

advanced mathematical theories参考文献 4被引用 6

一句话总结

本文对 $p$-进多分辨率分析（MRAs）进行了完整的刻画，证明仅有 1-周期测试函数可作为正交尺度函数。文章提出了一套系统化方法，从任意 MRA 构造小波框架，表明每个小波函数均可生成一个 $p$-进小波框架，从而扩展了 Kozyrev 早期关于紧支撑小波的研究。

ABSTRACT

We study $p$-adic multiresolution analyses (MRAs). A complete characterisation of test functions generating MRAs (scaling functions) is given. We prove that only 1-periodic test functions may be taken as orthogonal scaling functions. We also suggest a method for the construction of wavelet functions and prove that any wavelet function generates a $p$-adic wavelet frame.

研究动机与目标

• 全面刻画生成 $p$-进多分辨率分析（MRAs）的测试函数类，特别是识别哪些函数可作为正交尺度函数。
• 解决一个猜想：在 $p$-进 MRA 中仅 1-周期函数可作为正交尺度函数，确认这是正交性的必要条件。
• 为从任意给定的 $p$-进 MRA 构造小波函数和小波框架提供一种通用方法，无论正交性如何。
• 通过证明可从小波框架系统化地从 MRA 框架中生成小波，从而扩展 Kozyrev 的 $p$-进小波基构造方法。

提出的方法

• 作者利用 $\mathbb{Q}_p$ 上的傅里叶变换，以及局部常值紧支撑函数（测试函数）的性质，分析了多分辨率方程。
• 他们采用尺度函数 $\phi$ 的傅里叶变换及其与掩码函数 $m_0$ 的关系，通过方程 $\widehat{\phi}(\xi) = m_0(\xi)\widehat{\phi}(p\xi)$ 来刻画多分辨率性质。
• 小波函数的构造依赖于定义一个波形掩码 $n_0$，使得 $\widehat{\psi}(\xi) = n_0(\xi)\widehat{\phi}(p\xi)$，从而确保小波与尺度空间正交。
• 通过验证 $\phi$ 和 $\psi$ 的傅里叶变换在频域满足正交性条件，特别是通过在二进制点处内积为零，来确保小波系统构成一个框架。
• 一个关键技术步骤是证明：当掩码 $m_0$ 和 $n_0$ 的关联多项式无公共零点时，由多分辨率关系式 (5.6) 和 (5.7) 导出的方程组有解。
• 通过计算线性系统的系数矩阵的结式来证明其可逆性，从而确保小波系统能张成所需的正交补空间 $W_0$。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些测试函数可生成正交的 $p$-进多分辨率分析？其必要的结构特性是什么？
• RQ2 能否从任意 $p$-进 MRA 系统化地构造小波框架，即使尺度函数不是正交的？
• RQ3 能否从给定的 MRA 构造一个小波函数，使得由此产生的系统在 $L^2(\mathbb{Q}_p)$ 中构成一个框架？
• RQ4 周期性在 $p$-进尺度函数中起什么作用？为何正交尺度函数必须是 1-周期的？
• RQ5 掩码 $m_0$ 和 $n_0$ 如何与小波构造相关联？何种条件可确保小波系统是完备的？

主要发现

• 仅 1-周期测试函数可作为 $p$-进 MRA 中的正交尺度函数，且该条件对正交性而言既是必要也是充分的。
• 通过所提方法构造的任意小波函数均可生成一个 $p$-进小波框架，从而确认了在 $p$-进设置下此类框架的存在性。
• $L^2(\mathbb{Q}_p)$ 中的小波系统 $\{\psi(\cdot - a)\}_{a \in \mathbb{Z}_p}$ 构成一个框架，其框架界由小波掩码 $n_0$ 的性质决定。
• 由多分辨率方程 (5.6) 和 (5.7) 导出的线性系统在掩码 $m_0$ 和 $n_0$ 无公共零点时可解，此条件由构造过程保证。
• 当关联多项式无公共根时，该系统系数矩阵的结式非零，从而保证了解的存在性，进而确保小波系统的完备性。
• 该构造方法推广了 Kozyrev 的小波基构造，并表明在同一个哈尓 MRA 中，由于尺度函数的周期性，可能存在多个正交小波基。