[论文解读] p-adic valuations of some sums of multinomial coefficients

Zhi‐Wei Sun|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2009

Advanced Mathematical Identities参考文献 16被引用 7

一句话总结

本文建立了关于多项式系数和的 p 进估值界限与同余式，特别关注与中心二项式系数和卡塔兰数相关的和。证明了当奇素数 $ p $ 整除 $ m - 4 $ 时，某些加权和 $ \frac{1}{m^k} \binom{2k}{k} $ 的 $ p $-进估值至少为 $ u_p(n) $，并推导出模 $ p^{u_p(m-4)} $ 的精确同余式，改进了 Guo 和 Zeng 的先前猜想，并扩展了模素数幂的中心二项式和结果。

ABSTRACT

Let $m$ and $n>0$ be integers. Suppose that $p$ is a prime dividing $m-4$ but not dividing $m$. We show that $ν_p(\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\binom{2k}k}{m^k})$ and $ν_p(\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k}(-1)^k\frac{\binom{2k}k}{m^k})$ are at least $ν_p(n)$, where $ν_p(x)$ denotes the $p$-adic valuation of $x$. Furthermore, if $p>3$ then $$n^{-1}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\bi{2k}k}{m^k}=\frac{\binom{2n-1}{n-1}}{4^{n-1}} (mod p^{ν_p(m-4)})$$ and $$n^{-1}\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k}(-1)^k\frac{\binom{2k}k}{m^k}=\frac{C_{n-1}}{4^{n-1}} (mod p^{ν_p(m-4)}),$$ where $C_k$ denotes the Catalan number $\binom{2k}{k}/(k+1)$. This implies several conjectures of Guo and Zeng [GZ]. We also raise two conjectures, and prove that $n>1$ is a prime if and only if $$\sum_{k=0}^{n-1}multinomial{(n-1)k}{k,...,k}=0 (mod n),$$ where $multinomial{k_1+...+k_{n-1}}{k_1,...,k_{n-1}}$ denotes the multinomial coefficient $(k_1+...+k_{n-1})!/(k_1!... k_{n-1}!)$.

研究动机与目标

• 解决 Guo 和 Zeng 关于涉及中心二项式系数与多项式系数的 $ p $-进估值的开放猜想。
• 将此前关于模 $ p^2 $ 的中心二项式和结果进行推广，特别是 Pan、Sun 和 Sun-Tauraso 的工作。
• 在 $ m $ 与 $ p $ 满足特定条件时，为形如 $ \frac{1}{n} \binom{2k}{k}/m^k $ 的和建立精确的 $ p $-进估值下界与精确同余式。
• 将这些结果推广至多项式系数 $ \binom{nk}{k,\theta,\theta} $，证明模 $ p $ 与 $ p^2 $ 的同余式。
• 基于计算证据与结构分析，提出关于 $ m^{-k} $ 涉及的和的 $ 3 $-进估值的新猜想，其中 $ m \not\equiv 1 \pmod{3} $。

提出的方法

• 应用 $ p $-进估值理论，使用 $ \nu_p(m/n) = \nu_p(m) - \nu_p(n) $，并引入 Iverson 括号表示法以表达条件语句。
• 利用生成函数与卡塔兰数 $ C_k = \frac{1}{k+1}\binom{2k}{k} $ 的性质，将和与已知的组合恒等式关联。
• 使用类卢卡斯定理与 $ p $-进数字分析，以模 $ p $ 与 $ p^2 $ 计算二项式系数，特别是 $ \binom{jk}{k} $。
• 应用威尔逊定理与格拉舍尔同余式 $ (p-1)! \equiv pB_{p-1} - p \pmod{p^2} $ 计算模 $ p^2 $ 的和。
• 利用引理 2.3 关于二项式系数可除性与引理 4.1 关于 $ p $-进数字约束，证明在特定数字条件下和模 $ p $ 为零。
• 使用归纳法与将索引 $ k $ 按 $ p $-进制展开，将和分解为模 $ p $ 的子和，从而实现递归分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ p \mid m - 4 $ 时，$ \sum_{k=0}^{n-1} \frac{\binom{2k}{k}}{m^k} $ 的 $ p $-进估值是多少，它与 $ \nu_p(n) $ 有何关系？
• RQ2 在相同条件下，是否可以证明 $ \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n-1}{k}(-1)^k \frac{\binom{2k}{k}}{m^k} $ 的 $ p $-进序下界为 $ \nu_p(n) $？
• RQ3 模 $ p^{\nu_p(m-4)} $ 下，$ \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{\binom{2k}{k}}{m^k} $ 的精确同余式是什么，它如何依赖于 $ m $ 与 $ p $？
• RQ4 当 $ m $ 满足 $ 4m \equiv 1 \pmod{p} $ 时，和 $ \sum_{k=0}^{p^a-1} \binom{2k}{k} m^k $ 模 $ p^{a+1} $ 的行为如何？
• RQ5 是否可以以 $ \nu_3(m-1) $ 的形式界定涉及 $ m^{-k} $ 的和的 $ 3 $-进估值，且 $ p=3 $ 时的精确同余式是什么？

主要发现

• 对于奇素数 $ p \mid m - 4 $，有 $ \nu_p\left( \sum_{k=0}^{n-1} \frac{\binom{2k}{k}}{m^k} \right) \geq \nu_p(n) $，且对带符号的和也成立。
• 归一化和满足同余式：$$ \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{\binom{2k}{k}}{m^k} \equiv \frac{\binom{2n-1}{n-1}}{4^{n-1}} + \delta_{p,3}[3 \mid n] \frac{m-4}{3} \binom{2n/3^{\nu_3(n)} - 1}{n/3^{\nu_3(n)} - 1} \pmod{p^{\nu_p(m-4)}} $$
• 对于 $ a \in \mathbb{Z}^+ $，有 $$ \frac{1}{p^a} \sum_{k=0}^{p^a - 1} \frac{\binom{2k}{k}}{m^k} \equiv \frac{m-1}{3} \pmod{p} $$，当 $ p \ne 3 $ 时值为 $ 1 $，当 $ p = 3 $ 时值为 $ 1 + \frac{m-4}{3} $。
• 带符号和满足：$$ \frac{1}{p^a} \sum_{k=0}^{p^a - 1} \binom{p^a - 1}{k} (-1)^k \frac{\binom{2k}{k}}{m^k} \equiv -1 \pmod{p} \quad \text{当 } p \ne 3 \text{ 时} $$
• 和 $ \sum_{k=0}^{3^a - 1} (-2)^k \binom{2k}{k} \equiv 3^a \pmod{3^{a+1}} $，且对 $ p = 3 $ 与 $ p = 7 $，类似同余式对 $ (-5)^k $ 成立。
• 对于 $ p = 3 $，本文猜想 $$ \nu_3\left( \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{\binom{2k}{k}}{m^k} \right) \geq \min\{ \nu_3(n), \nu_3(m-1) - 1 \} $$，并给出模 $ 3^{\nu_3(m-1)} $ 的精确同余式。