[论文解读] $p$-adic vanishing cycles as Frobenius-fixed points

Matthew Morrow|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文证明了在混合特征的完美oid域的整数环上光滑形式形式概形的 $p$-进消失上同调，与某一类去德雷姆–威尔特复形的弗罗贝尼乌斯不动点同构。通过利用 $p$-进卡蒂埃同构以及弗罗贝尼乌斯减去限制映射的同伦纤维，作者将 $p$-进消失上同调识别为 $F - R$ 的核，从而在整数 $p$-进霍奇理论中，通过弗罗贝尼乌斯不动点结构，为这些上同调不变量提供了新的解释。

ABSTRACT

Given a smooth formal scheme over the ring of integers of a mixed-characteristic perfectoid field, we study its $p$-adic vanishing cycles via de Rham--Witt and $q$-de Rham complexes.

研究动机与目标

• 将 $p$-进消失上同调解释为 $p$-进霍奇理论中整数上同调理论的弗罗贝尼乌斯不动点。
• 将去德雷姆–威尔特与 $q$-去德雷姆复形的框架扩展至完美oid环上的形式概形。
• 通过将 $p$-进消失上同调与 $\widetilde{W_r\Omega}_{\mathfrak{X}}\{j\}$ 的反向系统上的 $F - R$ 的同伦纤维联系起来，为 $p$-进消失上同调提供新的视角。
• 通过完美oid几何，将吉塞斯–黑塞尔霍尔特的结果从离散赋值域推广至代数闭包。
• 通过弗罗贝尼乌斯不动点结构，在 $p$-进消失上同调与 $q$-去德雷姆复形 $\mathbb{A}\Omega_{\mathfrak{X}}\{j\}$ 之间建立结构性联系。

提出的方法

• 作者使用了反向平展拓扑，并在特殊纤维的平展上定义了 $W_r(\mathcal{O})$-模的反向复形 $\tau^{\leq j}\widetilde{W_r\Omega}_{\mathfrak{X}}\{j\}$。
• 他们应用 $p$-进卡蒂埃同构，将 $\widetilde{W_r\Omega}_{\mathfrak{X}}\{j\}$ 的上同调与相对去德雷姆–威尔特复形 $W_r\Omega^{\bullet}_{\mathfrak{X}/\mathcal{O}}$ 联系起来。
• 关键构造是映射 $F - R: \tau^{\leq j}\widetilde{W_r\Omega}_{\mathfrak{X}}\{j\} \to \tau^{\leq j}\widetilde{W_{r-1}\Omega}_{\mathfrak{X}}\{j\}$ 的同伦纤维，该纤维捕捉了 $p$-进消失上同调。
• 他们证明了包含 $\tau^{\leq j}Rb_*\mathbb{Z}/p^N\mathbb{Z}(j)$ 与 $F - R$ 反向系统的纤维序列是正合的，从而将消失上同调识别为核。
• 该证明依赖于证明 $p$-进上同调的长正合序列可分解为短正合序列，利用了 $F - R$ 在去德雷姆–威尔特层上的满射性。
• 他们利用 $q$-去德雷姆复形 $\mathbb{A}\Omega_{\mathfrak{X}}\{j\} = \varprojlim_{r, F} \widetilde{W_r\Omega}_{\mathfrak{X}}\{j\}$ 恢复了布哈特–莫罗–舒尔泽关于 $p$-进消失上同调为 $\ker(1 - \varphi^{-1})$ 的已知结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在完美oid环上的去德雷姆–威尔特复形背景下，$p$-进消失上同调如何被解释为弗罗贝尼乌斯不动点？
• RQ2 反向系统 $\widetilde{W_r\Omega}_{\mathfrak{X}}\{j\}$ 与 $p$-进平展上同调 $Rb_*\mathbb{Z}/p^N\mathbb{Z}(j)$ 之间的确切关系是什么？
• RQ3 $F - R$ 映射在截断的去德雷姆–威尔特复形上是否诱导出一个纤维序列，从而实现 $p$-进消失上同调？
• RQ4 在 $\mathbb{F}_p$-概形上，$F - R$ 在去德雷姆–威尔特层上的满射性是否可用于证明 $p$-进上同调长正合序列的分裂？
• RQ5 $q$-去德雷姆复形 $\mathbb{A}\Omega_{\mathfrak{X}}\{j\}$ 如何通过弗罗贝尼乌斯不动点编码 $p$-进消失上同调？

主要发现

• 纤维序列 $\tau^{\leq j}Rb_*\mathbb{Z}/p^N\mathbb{Z}(j) \to \varprojlim'_{r, R} \tau^{\leq j}\widetilde{W_r\Omega}_{\mathfrak{X}}\{j\} \xrightarrow{F-R} \varprojlim'_{r, R} \tau^{\leq j}\widetilde{W_{r-1}\Omega}_{\mathfrak{X}}\{j\}$ 将 $p$-进消失上同调识别为反向系统上 $F - R$ 的核。
• $p$-进卡蒂埃同构确保 $H^j(\widetilde{W_r\Omega}_{\mathfrak{X}}\{j\}) \cong W_r\Omega^j_{\mathfrak{X}/\mathcal{O}}$，将复形的上同调与去德雷姆–威尔特形式联系起来。
• 由于 $F - R$ 的满射性，$p$-进上同调的长正合序列可分解为短正合序列，该满射性通过约化至 $\mathbb{F}_p$-情形与光滑情形得以证明。
• $F - R: W_r\Omega^j_{Y/\mathbb{F}_p} \to W_{r-1}\Omega^j_{Y/\mathbb{F}_p}$ 在仿射、有限型 $\mathbb{F}_p$-概形 $Y$ 上是满射的，从而消除了 $\varprojlim^1$ 障碍。
• 反向系统 $\mathbb{A}\Omega_{\mathfrak{X}}\{j\} = \varprojlim_{r, F} \widetilde{W_r\Omega}_{\mathfrak{X}}\{j\}$ 满足 $\tau^{\leq j}(\mathbb{A}\Omega_{\mathfrak{X}}\{j\}/p^N) \xrightarrow{1 - \varphi^{-1}} \tau^{\leq j}(\mathbb{A}\Omega_{\mathfrak{X}}\{j\}/p^N)$，其核为 $\tau^{\leq j}R\nu_*\mathbb{Z}/p^N\mathbb{Z}(j)$，从而恢复了布哈特–莫罗–舒尔泽的已知结果。
• $\mathbb{A}\Omega_{\mathfrak{X}}\{j\}/p^N$ 的弗罗贝尼乌斯不动点同构于 $p$-进消失上同调 $\tau^{\leq j}Rb_*\mathbb{Z}/p^N\mathbb{Z}(j)$，从而为这些上同调不变量提供了新的上同调解释。