[论文解读] Integral p-adic Hodge theory

Bhargav Bhatt|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 35被引用 47

一句话总结

本文为 $ℝ_p$ 的整闭包环上的正规光滑形式概形引入了一种新的 $p$$-进上同调理论，其取值于 Breuil–Kisin–Fargues 模块（即 Dieudonné 模块的混合特征类比）。该理论通过 Fontaine 的周期环比较同构，统一了晶体上同调、de Rham 上同调与 étale 上同调，证明了晶体上同调中的 $p$-挠子群控制了 $p$-进 étale 上同调中的 $p$-挠子群，并在无挠子群假设下，实现了晶体上同调的整上同调重构。

ABSTRACT

I will describe joint work with M. Morrow and P. Scholze on the construction of a new integral cohomology theory for smooth projective schemes over the ring of integers of a p-adic field. The new theory realizes de Rham cohomology as a specialization of etale cohomology (integrally), and thus yields consequences about torsion by semicontinuity.

研究动机与目标

• 为 $ℝ_K$ 上的正规光滑形式概形构造一种新的整 $p$-进上同调理论，其中 $K$ 是具有完美剩余类域的 $p$-进域。
• 在单一框架内统一所有已知的 $p$-进上同调理论——晶体上同调、de Rham 上同调与 étale 上同调。
• 在无 $p$-挠子群的条件下，建立 $p$-进 étale 上同调与晶体上同调之间强有力的整上同调比较定理。
• 利用 Breuil–Kisin 模块理论，系统地从 $p$-进 étale 上同调重构晶体上同调。

提出的方法

• 该上同调理论利用 Faltings 的几乎纯性定理与导出范畴上的 $L\eta$-算子（最初由 Berthelot–Ogus 定义）构造。
• 上同调复形 $A\Omega_{\mathfrak{X}}$ 被定义为 de Rham 上同调的 $q$-变形，具有自然的滤子结构及伽罗瓦/弗罗贝尼乌斯作用。
• 在仿射开集上，该理论与 Langer–Zink 的 de Rham–Witt 复形相关联，提供了具体的计算模型。
• 该构造依赖于 Fargues 定义的混合特征类 Dieudonné 模块范畴，其推广了 Breuil–Kisin 模块。
• 比较同构通过周期环 $B_{\mathrm{crys}}$ 与 $B_{\mathrm{dR}}$ 建立，利用显式复形并保持与滤子的相容性。
• 关键技术工具是将 $A\Omega_{\mathfrak{X}}$ 识别为某些完美oid复形的极限，从而可运用导出代数几何技术。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一种单一的整 $p$-进上同调理论，使其在特化时涵盖所有已知的 $p$-进上同调理论？
• RQ2 如何从一般纤维的 $p$-进 étale 上同调中整上同调地重构晶体上同调？
• RQ3 在 $p$-进 étale 上同调与晶体上同调中，$p$-挠子群之间的精确关系是什么？
• RQ4 $L\eta$-算子在导出范畴上的作用在整上同调中能发挥多大作用？
• RQ5 能否在不反演 $p$ 的情况下，使 étale 与晶体上同调之间的比较同构保持整性？

主要发现

• 存在一个与伽罗瓦作用、弗罗贝尼乌斯作用及滤子相容的比较同构 $H^i_{\text{ét}}(X_C,\mathbb{Z}_p)\otimes_{\mathbb{Z}_p} B_{\mathrm{crys}} \cong H^i_{\mathrm{crys}}(\mathfrak{X}_k/W(k))\otimes_{W(k)} B_{\mathrm{crys}}$。
• 对所有 $n \geq 0$，晶体上同调中 $p$-挠子群的长度满足 $\mathrm{length}_{W(k)}(H^i_{\mathrm{crys}}(\mathfrak{X}_k/W(k))_{\mathrm{tor}}/p^n) \geq \mathrm{length}_{\mathbb{Z}_p}(H^i_{\text{ét}}(X_C,\mathbb{Z}_p)_{\mathrm{tor}}/p^n)$，这意味着晶体上同调中无 $p$-挠子群可推出 étale 上同调中也无 $p$-挠子群。
• 若 $H^i_{\mathrm{crys}}(\mathfrak{X}_k/W(k))$ 与 $H^{i+1}_{\mathrm{crys}}(\mathfrak{X}_k/W(k))$ 均为 $p$-挠子群自由，则 $H^i_{\mathrm{crys}}(\mathfrak{X}_k/W(k))$ 可通过 Breuil–Kisin 模块构造，从 $H^i_{\text{ét}}(X_C,\mathbb{Z}_p)$ 整上同调地恢复。
• $A\Omega_{\mathfrak{X}}$ 是 de Rham 上同调的 $q$-变形，其在仿射开集上通过 de Rham–Witt 复形计算上同调。
• $A\Omega_{\mathfrak{X}}$ 的构造依赖于 $L\eta$-算子与 Faltings 的几乎纯性定理，从而实现下降与比较定理。
• 该理论在 $H^i_{\text{ét}}(X_C,\mathbb{Z}_p)\otimes_{\mathbb{Z}_p} B_{\mathrm{dR}}$ 上提供了一个自然的 $B_{\mathrm{dR}}^+$-格，与 Hodge 滤子及 de Rham 比较相容。