[论文解读] Pólya-Vinogradov and the least quadratic nonresidue

Jonathan Bober, Leo Goldmakher|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2013

Analytic Number Theory Research参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文建立了一类长特征和估计与最小二次非剩余之间的新联系。通过证明对偶特征的Pólya–Vinogradov不等式改进可直接推出对奇特征最小非剩余的更强界，该研究为改进Burgess的经典指数开辟了新路径，条件性结果在长特征和猜想下可得 $ n_p \ll (\log p)^{1.4} $。

ABSTRACT

It is well-known that cancellation in short character sums (e.g. Burgess' estimates) yields bounds on the least quadratic nonresidue. Scant progress has been made on short character sums since Burgess' work, so it is desirable to find a new approach to nonresidues. The goal of this note is to demonstrate a new line of attack via long character sums, a currently active area of research. Among other results, we demonstrate that improving the constant in the Pólya-Vinogradov inequality would lead to significant progress on nonresidues. Moreover, conditionally on a conjecture on long character sums, we show that the least nonresidue for any odd primitive character (mod $k$) is bounded by $(\log k)^{1.4}$.

研究动机与目标

• 建立长特征和估计与最小二次非剩余界之间的新联系。
• 证明对偶特征Pólya–Vinogradov不等式的改进可导致对奇特征最小非剩余的更强界。
• 探讨长特征和理论的最新进展对长期存在的最小二次非剩余界问题的启示。
• 在长特征和猜想下研究条件性界 $ n_\xi \ll (\log k)^{1.4} $。
• 考察该方法的局限性及其与 $ L(1,\xi) $ 大小和广义黎曼假设的关系。

提出的方法

• 本文以Pólya–Vinogradov不等式为起点，将特征 $ \chi $ 的最大部分和 $ M(\chi) $ 与奇特征 $ \xi $ 的最小非剩余 $ n_\xi $ 的界联系起来。
• 通过从模 $ k $ 的奇特征 $ \xi $ 构造模 $ 3k $ 的偶特征 $ \chi $，利用和 $ \sum_{n \leq y^\alpha} \frac{\xi(n)}{n} $ 推导出 $ M(\chi) $ 的下界。
• 该方法应用Dickman–de Bruijn函数 $ \rho(u) $ 来建模光滑整数的分布，并在假设 $ \xi(n) = 1 $ 于 $ y $-光滑数上时，估算 $ \xi(n)/n $ 的部分和。
• 利用恒等式 $ \left| \sum_{n \leq y^\alpha} \frac{\xi(n)}{n} \right| \geq \sum_{n \leq y^\alpha} \frac{1}{n} - 2 \sum_{P^+(n) > y} \frac{1}{n} $ 对和进行下界估计，依赖于互素性和光滑性条件。
• 关键不等式 $ M(\chi) \gtrsim \frac{\sqrt{k}}{\pi} (-2\alpha \log \alpha + 3\alpha - 2) \log y $ 在 $ \alpha = \sqrt{e} $ 处取得最大值，从而导出主要结果。
• 基于预精致特征理论和光滑数分布的启发式论证，提出猜想 $ \log n_\xi \lesssim \left( \frac{\pi}{e^\gamma} \right) \frac{M(\chi)}{\sqrt{k}} $，该猜想在 $ M(\chi) $ 的估计成立时意味着 $ n_\xi \ll (\log k)^{1+o(1)} $。

实验结果

研究问题

• RQ1 对偶特征Pólya–Vinogradov不等式的改进是否能导致对奇特征最小二次非剩余的更好界？
• RQ2 偶特征的最大部分和 $ M(\chi) $ 与奇特征的最小非剩余 $ n_\xi $ 之间的定量关系为何？
• RQ3 长特征和理论，特别是Granville–Soundararajan猜想，能在多大程度上改进已知的最小非剩余界？
• RQ4 是否存在一个条件性界，其优于Burgess指数 $ \frac{1}{4\sqrt{e}} $，若是，其强度如何？
• RQ5 $ L(1,\xi) $ 的大小与最小非剩余及关联偶特征的最大部分和 $ M(\chi) $ 有何关系？

主要发现

• 若能改进偶特征Pólya–Vinogradov不等式中的常数，将直接导致对最小二次非剩余 $ n_p $ 的Burgess指数 $ \frac{1}{4\sqrt{e}} $ 的改进，尤其适用于满足 $ p \equiv 3 \pmod{4} $ 的素数。
• 在猜想 $ M(\chi) \leq \left( \frac{e^\gamma}{\pi\sqrt{3}} + o(1) \right) \sqrt{q} \log \log q $ 对所有模 $ q $ 的偶本原特征 $ \chi $ 成立的条件下，本文证明了 $ n_\xi \ll (\log k)^{c+o(1)} $，其中 $ c \approx 1.37 $，优于GRH下Ankeny的 $ \ll (\log p)^2 $ 界。
• 在相同猜想下，条件性地得到了 $ n_\xi \ll (\log k)^{1.4} $ 的界，代表了当前技术水平的显著提升。
• 本文表明，若对所有偶特征 $ \chi \mod q $ 有 $ M(\chi) = o(\sqrt{q} \log q) $，则 $ n_\xi \ll k^{o(1)} $，暗示了获得次对数界的可能性。
• 该方法表明，最小非剩余的最大值与 $ L(1,\xi) $ 的最大值密切相关，且当 $ n_\xi $ 较大时，$ L(1,\xi) $ 很可能也较大。
• 本文证明，对任意模 $ q $ 的本原偶特征 $ \chi $，要么 $ n_\chi \leq \exp((\log q)^{5/6+\epsilon}) $，要么 $ M(\chi) \leq \sqrt{q} (\log q)^{2/3+\epsilon} $，表明至少其中一个量必须较小。