[论文解读] p-subgroups in the space Cremona group

Yuri Prokhorov, Constantin Shramov|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 25被引用 4

一句话总结

本文证明了，对于代数闭域上任意有理连通三复形 $X$，其双有理自同构群 $\mathrm{Bir}(X)$ 的任意 $p$-子群 $G$，当 $p \geq 17$ 时，该子群是阿贝尔群，且由至多三个元素生成。该结果通过等变极小模型程序方法及在法诺与莫里纤维空间上对 $p$-群的不动点定理建立，扩展了此前在克雷蒙群理论中关于有界性的结果。

ABSTRACT

We prove that if $X$ is a rationally connected threefold and $G$ is a $p$-subgroup in the group of birational selfmaps of $X$, then $G$ is an abelian group generated by at most $3$ elements provided that $p\ge 17$. We also prove a similar result for $p\ge 11$ under an assumption that $G$ acts on a (Gorenstein) $G$-Fano threefold, and show that the same holds for $p\ge 5$ under an assumption that $G$ acts on a $G$-Mori fiber space.

研究动机与目标

• 建立有理连通三复形的双有理自同构群中 $p$-子群的有界性。
• 通过提高阿贝尔生成的素数阈值，改进此前关于克雷蒙群中 $p$-子群结构的结果。
• 证明当 $p \geq 17$ 时，$p$-群作用在有理连通三复形上存在 $G$-不动点。
• 将不动点定理推广至作用在 $G$-法诺与 $G$-莫里纤维空间三复形上的 $p$-群。

提出的方法

• 使用等变极小模型程序将问题约化为 $G$-莫里纤维空间或 $G$-法诺三复形。
• 应用在射影簇上对 $p$-群的不动点定理，依赖于群作用在奇点与典范除子上的性质。
• 利用 $G$-法诺三复形及其自同构群的分类，以限制 $p$-子群的秩。
• 通过在不动点处切空间上的线性作用，运用 $p$-群的表示理论。
• 利用等变奇点消解将问题约化为光滑三复形，进而应用线性代数技巧。
• 沿极小收缩应用不动点的提升技术，遵循 [PS16b]。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $p \geq 17$ 时，有理连通三复形 $X$ 的 $\mathrm{Bir}(X)$ 的任意 $p$-子群 $G$ 是否为阿贝尔群？
• RQ2 此类 $p$-子群的生成元数量能否独立于 $p$ 有界？
• RQ3 当 $p$ 足够大时，$p$-群作用在 $G$-法诺三复形或 $G$-莫里纤维空间上是否必有不动点？
• RQ4 对于三维有理连通三复形 $X$，$\mathrm{Bir}(X)$ 中 $p$-子群的秩的最优界限是什么？

主要发现

• 当 $p \geq 17$ 时，任意有理连通三复形 $X$ 的 $p$-子群 $G \subset \mathrm{Bir}(X)$ 均为阿贝尔群，且由至多三个元素生成。
• 若 $G$ 作用在 $G$-法诺三复形上，则当 $p \geq 11$ 时，$G$ 在 $X$ 上存在不动点。
• 若 $G$ 作用在 $G$-莫里纤维空间上，则当 $p \geq 5$ 时，$G$ 在 $X$ 上存在不动点。
• 若 $X$ 上存在 $G$-不动点，则 $G$ 嵌入 $\mathrm{GL}_3(\Bbbk)$，从而限制其结构。
• 当 $p \geq 17$ 时，三个生成元的界限是精确的，因为某些阿贝尔 $p$-子群在 $\mathrm{Cr}_3(\Bbbk)$ 中可达到该界限。
• 终端法诺三复形上非 Gorenstein 奇点的数量不超过 15，这使得当 $p \geq 17$ 时无法实现 $p$-群的传递作用。