[论文解读] Packing near the tiling density and exponential bases for product domains

Mihail N. Kolountzakis|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2016

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 11被引用 3

一句话总结

该论文证明，若乘积域 $ A \times \Omega \subseteq \mathbb{R}^{d+n} $ 是谱集，则 $ A $ 与 $ \Omega $ 均为谱集，将先前仅限于区间的结论推广至两个区间的并集。通过证明 $ |\widehat{\chi_\Omega}|^2 $ 的高密度堆积蕴含平铺性质，作者表明 $ A \times \Omega $ 的谱性强制两个因子均为谱集，即使 $ A $ 是两个不相交区间的并集。

ABSTRACT

A set $Ω$ in a locally compact abelian group is called spectral if $L^2(Ω)$ has an orthogonal basis of group characters. An important problem, connected with the so-called Spectral Set Conjecture (saying that $Ω$ is spectral if and only if a collection of translates of $Ω$ can partition the group), is the question of whether the spectrality of a product set $Ω= A imes B$, in a product group, implies the spectrality of the factors $A$ and $B$. Recently Greenfeld and Lev proved that if $I$ is an interval and $Ω\subseteq {\mathbb R}^d$ then the spectrality of $I imes Ω$ implies the spectrality of $Ω$. We give a different proof of this fact by first proving a result about packings of high density implying the existence of tilings by translates of a function. This allows us to improve the result to a wider collection of product sets than those dealt with by Greenfeld and Lev. For instance when $A$ is a union of two intervals in ${\mathbb R}$ then we show that the spectrality of $A imes Ω$ implies the spectrality of both $A$ and $Ω$.

研究动机与目标

• 解决乘积域的谱因子问题，特别是当一个因子为两个区间的并集时。
• 将格林费尔德与列夫关于区间的结论推广至更广泛的乘积集类。
• 建立一个一般性原理，将 $ |\widehat{\chi_\Omega}|^2 $ 的高密度堆积与平铺的存在性联系起来。
• 证明 $ A \times \Omega $ 的谱性蕴含 $ A $ 与 $ \Omega $ 均为谱集，即使 $ A $ 是两个区间的并集。
• 提出一种基于堆积密度和平铺等价性的新证明技术，独立于先前的方法。

提出的方法

• 提出一个一般性原理：若函数 $ f = |\widehat{\chi_\Omega}|^2 $ 的堆积密度可任意接近 $ |\Omega|^2 $，则其平铺。
• 利用 $ L^2(\Omega) $ 中正交性与堆积（通过贝塞尔不等式）及完备性与等式（通过帕塞瓦尔恒等式）的等价性。
• 应用基于密度的平铺准则：若 $ f $ 的堆积密度超过与其 $ L^2 $-范数相关的阈值，则 $ f $ 平铺。
• 将此应用于函数 $ f = |\widehat{\chi_A}|^2 $，其中 $ A = I \cup J $ 为两个区间的并集，并通过傅里叶分析分析其零点集。
• 利用如下事实：若 $ D - D $ 避免 $ \widehat{\chi_A} $ 的零点集，则 $ A \times \Omega $ 谱性蕴含 $ \Omega $ 谱性。
• 采用对偶论证：若选取 $ D $ 使得 $ D - D $ 避免 $ \widehat{\chi_A} $ 的零点集，且 $ |D| \geq 1 $，则 $ A \times \Omega $ 谱性蕴含 $ \Omega $ 谱性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ A $ 是两个区间的并集时，乘积集 $ A \times \Omega $ 的谱性是否蕴含 $ A $ 与 $ \Omega $ 均为谱集？
• RQ2 能否通过 $ |\widehat{\chi_\Omega}|^2 $ 的高密度堆积保证其平移平铺的存在性？
• RQ3 对于 $ A = I \cup J $，$ \widehat{\chi_A} $ 的零点集需满足何种条件，才能使 $ A \times \Omega $ 谱性蕴含 $ \Omega $ 谱性？
• RQ4 当 $ A $ 不是单个区间而是两个区间的并集时，谱因子问题是否在乘积域中实现解耦？
• RQ5 富格尔德猜想能否推广至其中一个因子为两个区间并集的乘积域？

主要发现

• 若 $ A = I \cup J $ 为两个不相交区间的并集且满足 $ |I| + |J| = 1 $，且 $ A \times \Omega \subseteq \mathbb{R}^{1+n} $ 为谱集，则 $ A $ 与 $ \Omega $ 均为谱集。
• 当 $ |I| \neq |J| $ 时，傅里叶变换 $ \widehat{\chi_A} $ 在 $ (-1,1) $ 内无零点，从而可应用基于密度的平铺论证。
• 当 $ |I| = |J| = 1/2 $ 时，$ \widehat{\chi_A} $ 的零点集被显式刻画为 $ 2\mathbb{Z} \setminus \{0\} \cup (2\mathbb{Z}+1)\Delta $，其中 $ \Delta = 1/(2|m_1 - m_2|) $，从而可构造满足 $ |D| = 1 $ 且 $ D - D $ 避免零点集的集合 $ D $。
• 构造出满足 $ |D| = 1 $ 且 $ D - D $ 与 $ \widehat{\chi_A} $ 的零点集不相交的集合 $ D $，意味着通过定理 2(a) 可推出 $ \Omega $ 为谱集。
• 该结果推广了格林费尔德与列夫的定理：$ [0,1] \times \Omega $ 谱性蕴含 $ \Omega $ 谱性，并将其扩展至 $ A = I \cup J $，即两个区间的并集。
• 本文证明了 $ [0,1]^d \times B \subseteq \mathbb{R}^{d+n} $ 为谱集蕴含 $ B \subseteq \mathbb{R}^n $ 为谱集，通过归纳法与主定理完成。