[论文解读] Packing Returning Secretaries

Martin Hoefer, Lisa Wilhelmi|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Optimization and Search Problems被引用 1

一句话总结

本文提出了一种针对返回候选人的在线装箱问题的新框架，其中每个候选人在随机顺序下多次到达。该文提出一种简单算法，结合任意离线 α-近似算法，可在子可加性装箱问题中实现 0.5α-竞争比，且在推迟设置下，二分匹配的界限更优（0.5721−o(1)），拟阵的界限为 O(r′ ln n/r′)。

ABSTRACT

We study online secretary problems with returns in combinatorial packing domains with n candidates that arrive sequentially over time in random order. The goal is to accept a feasible packing of candidates of maximum total value. In the first variant, each candidate arrives exactly twice. All 2n arrivals occur in random order. We propose a simple 0.5-competitive algorithm that can be combined with arbitrary approximation algorithms for the packing domain, even when the total value of candidates is a subadditive function. For bipartite matching, we obtain an algorithm with competitive ratio at least 0.5721 - o(1) for growing n, and an algorithm with ratio at least 0.5459 for all n >= 1. We extend all algorithms and ratios to k >= 2 arrivals per candidate. In the second variant, there is a pool of undecided candidates. In each round, a random candidate from the pool arrives. Upon arrival a candidate can be either decided (accept/reject) or postponed (returned into the pool). We mainly focus on minimizing the expected number of postponements when computing an optimal solution. An expected number of Theta(n log n) is always sufficient. For matroids, we show that the expected number can be reduced to O(r log (n/r)), where r <=n/2 is the minimum of the ranks of matroid and dual matroid. For bipartite matching, we show a bound of O(r log n), where r is the size of the optimum matching. For general packing, we show a lower bound of Omega(n log log n), even when the size of the optimum is r = Theta(log n).

研究动机与目标

• 解决候选人在随机顺序下多次到达的在线组合装箱问题。
• 设计在信息有限且决策不可逆条件下仍能实现高竞争比的算法。
• 在可延迟决策时最小化推迟次数，尤其针对最优或近似最优解。
• 将 k=2 次到达的结果推广至一般 k≥2 次到达的候选。
• 刻画拟阵、二分匹配及一般装箱问题的期望推迟次数。

提出的方法

• 提出一种通用算法，将任意离线 α-近似算法与针对返回候选人的随机在线选择规则相结合。
• 采用推迟策略，将决策延迟至获得足够信息为止，建模为优惠券收集问题的变体。
• 引入 MaintainOPT，一种优化算法，在元素被保证保留在最优解中时尽早接受。
• 使用概率界限和调和级数近似分析期望推迟次数。
• 利用排除单调性与拟阵对偶性，推导出更紧的推迟复杂度界限。
• 通过模拟与理论分析，验证均匀拟阵和二分匹配中推迟次数的界限。

实验结果

研究问题

• RQ1 当每个候选人在随机顺序下 k≥2 次到达时，子可加性装箱问题可实现的竞争力比是多少？
• RQ2 在返回的在线装箱问题中，如何在保证最优或近似最优解的前提下最小化推迟？
• RQ3 在拟阵和二分匹配设置下，计算最优解所需的期望推迟次数是多少？
• RQ4 能否将推迟复杂度的界限从 k=2 推广至每个候选一般 k≥2 次到达？
• RQ5 底层装箱问题的结构（如拟阵、匹配）如何影响所需推迟次数？

主要发现

• 对于 k≥2 次到达的一般子可加性装箱问题，所提算法可实现 0.5α 的竞争力比，其中 α 为离线算法的近似比。
• 对于二分匹配，当 n 增大时，竞争力比至少为 0.5721−o(1)，且对所有 n≥1，至少为 0.5459。
• 对于具有已知结构的拟阵，期望推迟次数被限制在 O(r′ ln n/r′) 内，其中 r′=min(r,n−r)，且该界限对均匀拟阵是紧的。
• 对于二分匹配，期望推迟次数增长为 O(r log n)，在最坏情况图中可高达 Θ(n log n)。
• 对于一般装箱问题，即使最优解大小 |I∗|=3 ln n，期望推迟次数仍为 Ω(n log log n)，表明解大小无法控制推迟复杂度。
• 在秩 r≤n/2 的均匀拟阵中，第 j 个最佳候选人的期望推迟次数在 j≤r 时有界于 ln((n−j)/(r−j+1)) + O(1)，在 j>r 时有界于 ln((j−1)/(j−r)) + O(1)，最坏情况下的候选人为第 r 个最佳。