[论文解读] Impatient Online Matching

Liu, Xingwu, Pan, Zhida+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2016

Optimization and Search Problems参考文献 12被引用 1

一句话总结

本文首次为带延迟的最小费用完美匹配（MPMD）问题建立了对数复杂度的竞争比上界，通过树嵌入和一种新型树上的确定性算法，实现了 O(log n) 的随机化竞争比。同时，本文首次建立了 MPMD 的非恒定下界 Ω(√log n)，以及其二分图变体 MBPMD 的 Ω(log^{1/3} n) 下界，填补了在线匹配延迟问题中竞争比界限的重要空白。

ABSTRACT

We consider the problem of online Min-cost Perfect Matching with Delays (MPMD) recently introduced by Emek et al, (STOC 2016). This problem is defined on an underlying $n$-point metric space. An adversary presents real-time requests online at points of the metric space, and the algorithm is required to match them, possibly after keeping them waiting for some time. The cost incurred is the sum of the distances between matched pairs of points (the connection cost), and the sum of the waiting times of the requests (the delay cost). We present an algorithm with a competitive ratio of $O(\log n)$, which improves the upper bound of $O(\log^2n+\logΔ)$ of Emek et al, by removing the dependence on $Δ$, the aspect ratio of the metric space (which can be unbounded as a function of $n$). The core of our algorithm is a deterministic algorithm for MPMD on metrics induced by edge-weighted trees of height $h$, whose cost is guaranteed to be at most $O(1)$ times the connection cost plus $O(h)$ times the delay cost of every feasible solution. The reduction from MPMD on arbitrary metrics to MPMD on trees is achieved using the result on embedding $n$-point metric spaces into distributions over weighted hierarchically separated trees of height $O(\log n)$, with distortion $O(\log n)$. We also prove a lower bound of $Ω(\sqrt{\log n})$ on the competitive ratio of any randomized algorithm. This is the first lower bound which increases with $n$, and is attained on the metric of $n$ equally spaced points on a line. The problem of Min-cost Bipartite Perfect Matching with Delays (MBPMD) is the same as MPMD except that every request is either positive or negative, and requests can be matched only if they have opposite polarity. We prove an upper bound of $O(\log n)$ and a lower bound of $Ω(\log^{1/3}n)$ on the competitive ratio of MBPMD with a more involved analysis.

研究动机与目标

• 填补现有 MPMD 问题竞争比上界与下界之间的差距。
• 消除竞争比对度量空间方面比 ∆ 的依赖，此前上界受限于 O(log²n + log ∆)。
• 为 MPMD 及其二分图变体 MBPMD 首次建立非恒定的竞争比下界。
• 分析度量空间上随机算法的竞争力，特别是 n 个等距点的直线上的情况。
• 探索确定性算法的可行性及其向带广义度量约束的 k 维匹配问题的扩展。

提出的方法

• 设计一种针对高度为 h 的边权树上的 MPMD 确定性算法，保证其代价不超过任意可行解连接代价的 O(1) 倍和延迟代价的 O(h) 倍。
• 利用概率树嵌入（特别是分层分离树的分布）将任意 n 点度量空间上的通用 MPMD 问题转化为树上的问题，实现 O(log n) 的失真。
• 在单位区间上构建一个随机对抗实例，其中包含 n 个等距点，使用参数 r = ⌊(ln²/³ n)/4⌋，ρ = e^√r，以及 a = 1/√r，以控制请求的到达时间和极性。
• 利用随机游走偏离界限分析任意确定性算法的期望代价，证明 E[|csur(x)|] = O(√r)。
• 证明在对抗实例中，最优解代价为 O(√r)，而算法的期望代价为 Ω(r)，从而导出竞争比的下界。
• 通过允许相反极性的请求，并在相同对抗分布下分析延迟与连接代价，将下界构造扩展至 MBPMD。

实验结果

研究问题

• RQ1 在线最小费用完美匹配带延迟问题的竞争比能否独立于度量空间的方面比 ∆ 进行界定？
• RQ2 在 n 点度量空间上，随机算法在 MPMD 问题中可实现的最佳竞争比是多少？
• RQ3 随机算法在 MPMD 和 MBPMD 问题上的竞争比是否存在非恒定的下界？
• RQ4 能否绕过树嵌入方法，将竞争比提升至 O(log n) 以下？
• RQ5 在一般度量空间上，M(B)PMD 问题中确定性与随机化算法之间的竞争力差距是多少？

主要发现

• 本文提出一种针对 MPMD 的随机在线算法，竞争比为 O(log n)，消除了对方面比 ∆ 的依赖。
• 证明了在 n 点直线度量空间上，任意随机算法的竞争比下界为 Ω(√log n)，这是首个随 n 增长的此类下界。
• 对于二分图变体 MBPMD，本文建立了竞争比上界 O(log n) 和下界 Ω(log^{1/3} n)。
• 对抗实例中最优解代价被限制在 2ar + O(√r) + o(ar) 内，对于所选参数可简化为 O(√r)。
• 任何确定性算法在对抗实例上的期望代价为 Ω(r)，因此 MBPMD 的竞争比下界为 Ω(√r) = Ω(log^{1/3} n)。
• 分析依赖于对对称随机游走 r+1 步的期望绝对偏离的有界性，得出 E[|csur(x)|] = O(√r)，这对下界的建立至关重要。