[论文解读] Painleve Field Theory

A. Levin, S Aminov+3 more|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2013

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 77被引用 4

一句话总结

该论文通过在椭圆曲线上的平坦全纯无穷秩丛上利用等单变型变形，推广了Painlevé VI方程及其退化情形，将模参数作为时间变量，引入了多维场论。关键成果是推导出1+1维和2+1维的非局部、非自治哈密顿方程，其退化形式为SL(N,C)单值保持系统，当N=2时即为标准Painlevé VI方程。

ABSTRACT

We propose multidimensional versions of the Painlev\'e VI equation and its degenerations. These field theories are related to the isomonodromy problems of flat holomorphic infinite rank bundles over elliptic curves and take the form of non-autonomous Hamiltonian equations. The modular parameter of curves plays the role of time. Reduction of the field equations to the zero modes leads to ${ m SL}(N, {\mathbb C})$ monodromy preserving equations. The latter coincide with the Painlev\'e VI equation for $N\!=\!2$. We consider two types of the bundles. In the first one the group of automorphisms is the centrally and cocentrally extended loop group $L({ m SL}(N, {\mathbb C}))$ or some multiloop group. In the case of the Painlev\'e VI field theory in D=1+1 four constants of the Painlev\'e VI equation become dynamical fields. The second type of bundles are defined by the group of automorphisms of the noncommutative torus. They lead to the equations in dimension 2+1. In both cases we consider trigonometric, rational and scaling limits of the theories. Generically (except some degenerate cases) the derived equations are nonlocal. We consider Whitham quasiclassical limit to integrable systems. In this way we derive two and three dimensional integrable nonlocal versions of the integrable Euler-Arnold tops.

研究动机与目标

• 通过在椭圆曲线上的无穷秩丛上利用等单变型变形，推广Painlevé VI方程为多维场论。
• 探讨模参数作为非自治哈密顿系统中时间变量的作用。
• 推导SL(N,C)联络的单值保持方程，作为场论的约化形式。
• 通过Whitham半经典极限研究非局部可积系统，进而推广为非局部Euler-Arnold拓扑。
• 比较两类自同构群：环群与非交换环面对称性，揭示其对时空维度的差异影响。

提出的方法

• 在以模参数作为时间变量的椭圆曲线上的无穷秩全纯丛上，构建非自治哈密顿方程。
• 利用平坦联络的等单变型变形理论，推导出以动力场取代常数的场方程。
• 应用两类自同构群：中心和余中心扩展的环群L(SL(N,C))与非交换环面群。
• 通过三角、有理与缩放极限，获得多种可积场论。
• 将场方程约化至零模态，恢复SL(N,C)单值保持系统，包括N=2时的标准Painlevé VI方程。
• 应用Whitham半经典极限，推导出2+1维与3+1维的非局部可积系统，推广Euler-Arnold拓扑。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过等单变型变形将Painlevé VI方程推广为高维场论？
• RQ2 当Painlevé VI方程的四个常数在1+1维中被提升为场时，会涌现出怎样的动力场方程？
• RQ3 不同的自同构群——环群与非交换环面群——如何影响所得场论的维度与结构？
• RQ4 这些场论的Whitham半经典极限会产生哪些可积系统？
• RQ5 这些场论以何种方式在2+1维与3+1维中产生非局部Euler-Arnold拓扑的类比？

主要发现

• 1+1维的Painlevé VI场论将方程的四个常数提升为动力场，产生非自治哈密顿方程。
• 约化至零模态后，得到SL(N,C)单值保持方程，当N=2时可恢复标准Painlevé VI方程。
• 基于环群自同构的理论产生具有非局部结构的1+1维场方程。
• 非交换环面自同构群生成2+1维场论，同样表现出非局部性。
• 三角、有理与缩放极限产生不同的非局部可积场方程族。
• Whitham半经典极限产生非局部可积系统，推广了2+1维与3+1维的Euler-Arnold拓扑。