[论文解读] Pairing between zeros and critical points of random polynomials with independent roots

Sean O’Rourke, Noah Williams|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 30被引用 4

一句话总结

该论文证明，对于具有独立根的随机多项式，若在根分布支集之外的确定点 ξ 处条件化存在一个根，则几乎必然导致在 ξ 附近 O(1/n) 距离内存在一个临界点。作者将此配对现象推广至多个确定根的情形，并证明当此类根的数量随次数亚线性增长时，临界点的经验测度以概率收敛于根分布。

ABSTRACT

Let $p_n$ be a random, degree $n$ polynomial whose roots are chosen independently according to the probability measure $μ$ on the complex plane. For a deterministic point $ξ$ lying outside the support of $μ$, we show that almost surely the polynomial $q_n(z):=p_n(z)(z - ξ)$ has a critical point at distance $O(1/n)$ from $ξ$. In other words, conditioning the random polynomials $p_n$ to have a root at $ξ$, almost surely forces a critical point near $ξ$. More generally, we prove an analogous result for the critical points of $q_n(z):=p_n(z)(z - ξ_1)\cdots (z - ξ_k)$, where $ξ_1, \ldots, ξ_k$ are deterministic. In addition, when $k=o(n)$, we show that the empirical distribution constructed from the critical points of $q_n$ converges to $μ$ in probability as the degree tends to infinity, extending a recent result of Kabluchko.

研究动机与目标

• 研究具有独立根的随机多项式之零点与临界点之间的几何与概率关系。
• 确定将一个随机多项式条件化为在根分布支集之外的固定点处有根，是否会导致该点附近出现一个临近的临界点。
• 将零点与临界点之间的配对现象推广至多个确定根的情形，并分析临界点分布的极限行为。
• 通过去除有限能量假设，将Kabluchko关于临界点测度弱收敛的结果推广，并在一般条件下证明以概率收敛。

提出的方法

• 定义多项式 $ q_n(z) = p_n(z)(z - \xi_1)\cdots(z - \xi_k) $，其中 $ p_n $ 具有独立同分布的根，分布为 $ \mu $，且 $ \xi_1, \dots, \xi_k $ 为确定点。
• 使用势论方法与调和分析，估计与临界点相关的对数能量和格林函数。
• 应用高斯-卢卡斯定理作为基础的几何约束，确保所有临界点位于根的凸包内。
• 采用最速下降法及对数积分的渐近分析，界定临界点与确定根之间的距离。
• 利用柯西-施瓦茨不等式与平方对数的局部可积性，建立 $ \log|L_n(z)| $ 的 $ L^2 $-范数的紧性，确保分布收敛。
• 通过证明有界连续测试函数下的线性统计量收敛，建立临界点经验测度以概率弱收敛于 $ \mu $。

实验结果

研究问题

• RQ1 若将具有独立同分布根的随机多项式条件化为在根分布支集之外的确定点 $ \xi $ 处有根，是否会导致 $ \xi $ 附近出现一个临界点？
• RQ2 多项式 $ q_n(z) = p_n(z)(z - \xi) $ 的最近临界点与确定根 $ \xi $ 之间的典型距离是多少？
• RQ3 当 $ p_n $ 乘以 $ (z - \xi_1)\cdots(z - \xi_k) $ 时，临界点的经验分布行为如何？
• RQ4 在何种条件下，多项式 $ q_n $ 的临界点经验测度以概率收敛于根分布 $ \mu $？
• RQ5 Pemantle 和 Rivin 的结果中的有限能量假设是否可被移除？对于一般 $ \mu $，收敛性是否仍然成立？

主要发现

• 对于根分布支集之外的任意确定点 $ \xi $，多项式 $ q_n(z) = p_n(z)(z - \xi) $ 几乎必然在 $ \xi $ 附近 $ O(1/n) $ 距离内存在一个临界点。
• 该结果可推广至 $ k $ 个确定根 $ \xi_1, \dots, \xi_k $ 的情形，任一 $ \xi_i $ 附近最近临界点的距离仍为 $ O(1/n) $。
• 当 $ k = o(n) $ 时，随着 $ n \to \infty $，多项式 $ q_n $ 的临界点经验测度以概率弱收敛于 $ \mu $，该结果在无需有限能量假设的条件下推广了Kabluchko的结果。
• 收敛性通过对数 $ L^2 $-范数的紧性及调和积分的渐近分析建立，确保线性统计量收敛。
• 证明依赖于格林函数的有界性，以及利用柯西-施瓦茨不等式控制对数能量项的增长。
• 该结果在几乎必然与以概率成立，即使根非均匀分布，只要其为具有通用概率测度 $ \mu $ 的独立同分布根即可。