[论文解读] Pairings in Hopf-cyclic cohomology of algebras and coalgebras with coefficients

Igor Nikonov, G. Sharygin|ArXiv.org|Oct 20, 2006

Advanced Operator Algebra Research参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文为代数与余代数在稳定反-Yetter-Drinfeld模系数下的霍普夫-循环上同调中的上积建立了一个统一框架。通过非交换韦伊代数构造了一个配对，并证明此处定义的上积与Crainic型配对及文献[15]中的构造一致，关键恒等式表明该配对与$S$-运算和周期性相容。

ABSTRACT

This paper is concerned with the theory of cup-products in Hopf-type cyclic cohomology of algebras and coalgebras. Here we give detailed proofs of the statements, announced in our previous paper. We show that the cyclic cohomology of a coalgebra can be obtained from a construction involving noncommutative Weil algebra. Then we use a generalization of Quillen and Crainic's construction to define the cup-product. We discuss the relation of the introduced cup-product and $S$-operations on cyclic cohomology. After this we describe the relation of this type of product and bivariant cyclic cohomology. In the last section we briefly discuss the relation of our constructions with that of Khalkhali and Rangipour.

研究动机与目标

• 为代数与余代数在稳定反-Yetter-Drinfeld模系数下的霍普夫-循环上同调提供一个完整的上积构造。
• 建立余代数的循环上同调与非交换韦伊代数上同调之间的联系。
• 将Quillen与Crainic的构造推广，以在霍普夫-循环上同调的语境下定义上积。
• 阐明所引入的上积与循环上同调上$S$-运算之间的关系。
• 将所提出的配对与现有构造（特别是文献[15]中的构造）进行比较，并证明其等价性。

提出的方法

• 为余代数$C$与稳定反-Yetter-Drinfeld模$\mathcal{M}$构造非交换韦伊代数$W^{{\boldsymbol{\text{H}}}}(C,\boldsymbol{\text{M}})$，并计算其上同调。
• 定义抛余循环模$C^{\ast}(C,\mathcal{M}) = \mathcal{M} \otimes C^{\otimes n+1}$，其中包含循环运算$\delta_i$、$\sigma_i$与$\tau_n$，满足所有余循环关系，但$\tau_n^{n+1} = 1$不成立。
• 取$\mathcal{H}$-不变商模$C^{\ast}_{\mathcal{H}}(C,\mathcal{M}) = \mathcal{M} \otimes_{\mathcal{H}} C^{\otimes n+1}$，当$\mathcal{M}$为稳定且反-Yetter-Drinfeld时，该模成为余循环模。
• 通过使用韦伊代数与映射$\rho: W_{\natural}/\operatorname{Im} d \to \operatorname{Hom}(BA^{\natural}, \Bbbk)$的广义Crainic型构造来定义上积。
• 使用元素$cs_{m+n} = i w^{m+n} \in W$作为$W_{\natural}/\operatorname{Im} d$中的上闭链，将配对定义为复合：$\int \circ \mathbf{ev}_{\xi} \circ \tau \circ \rho(cs_{m+n})$。
• 通过归纳法对$n$证明关键恒等式$\alpha_n[\sigma(cs_{m+n})(\xi)] = \frac{m+1}{m+n+1}[\xi]$在$HC^{m}_{\mathcal{H}}(C,\mathcal{M})$中成立，利用边界映射以及$W$上$b$与$\delta$的作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在代数与余代数的霍普夫-循环上同调（带系数）中一致地定义上积结构？
• RQ2 非交换韦伊代数在实现余代数的循环上同调中起什么作用？
• RQ3 所引入的上积与循环上同调上的$S$-运算之间有何关系？
• RQ4 Crainic型配对在此框架中如何与上积构造一致？
• RQ5 此处定义的配对是否与[15]中的构造等价？若等价，其条件为何？

主要发现

• 余代数$C$在稳定反-Yetter-Drinfeld模$\mathcal{M}$系数下的循环上同调被实现为非交换韦伊代数$W^{\mathcal{H}}(C,\mathcal{M})$的上同调。
• 霍普夫-循环上同调中的上积通过使用韦伊代数与映射$\rho$的广义Crainic型配对来构造，该构造将闭迹识别为循环上闭链。
• 关键恒等式$\alpha_n[\sigma(cs_{m+n})(\xi)] = \frac{m+1}{m+n+1}[\xi]$通过归纳法得证，确立了配对与$S$-运算的相容性。
• 此处定义的上积与[15]中的构造一致，由复合$\int \circ \mathbf{ev}_{\xi} \circ \tau \circ \rho(cs_{m+n})$等于配对$\sigma(cs_{m+n})(\xi)$所证明。
• 边界映射$\varphi$满足$\varphi[cs_n] = \frac{n+1}{n+2}[cs_{n+1}]$在$H^*(W^{n+1}_{\natural}/\operatorname{Im} d, \delta)$中成立，这对归纳证明至关重要。
• 该构造建立了配对与$S$-运算之间的自然同构，表明上积与周期性及Connes-Tonneli映射相容。