[论文解读] Pairs of Generators for Matrix Groups. I

D. E. Taylor|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2022

Finite Group Theory Research参考文献 4被引用 14

一句话总结

本文为有限域上的经典群提供了显式的矩阵生成元，包括 GL(n,q)、SL(n,q)、Sp(2n,q)、U(n,q) 和 SU(n,q)，通过 Ree 的实现方法将 Steinberg 的抽象根系理论生成元转化为具体的矩阵形式。主要贡献是为所有主要李型矩阵群系统整理了一张完整的最小生成对表格，支持计算群论及这些群的算法构造。

ABSTRACT

Matrix generators for the general and special linear groups, the symplectic groups and the general and special unitary groups over finite fields. For the most part the generators have been obtained by translating Steinberg's generators for groups of Lie type into matrix form.

研究动机与目标

• 为有限域上的经典矩阵群提供显式的矩阵生成元。
• 通过 Ree 的实现方法，将 Steinberg 的抽象双生成元定理转化为具体的矩阵形式。
• 统一并系统化 GL(n,q)、SL(n,q)、Sp(2n,q)、U(n,q) 和 SU(n,q) 在所有有限域上的生成元集合。
• 通过提供适用于 Magma 等系统实现的生成元，支持计算群论。
• 将有限单李型群的已知双生成元性质推广至其矩阵实现形式。

提出的方法

• 利用有限域上的 Chevalley–Steinberg–Ree 构造，将 Steinberg 的基于根的生成元转化为矩阵形式。
• 定义初等矩阵 $x_{ij}(\alpha) = I + \alpha E_{ij}$ 和对角矩阵 $h_i(\alpha)$，以表示 SL(n,q) 中的根元素。
• 构造单项矩阵 $w_i$ 及其乘积 $w$，以表示 $n$-循环置换，用作 Weyl 群元素。
• 定义辛和酉形式的类比：$\hat{h}_i(\alpha)$、$\tilde{h}_i(\alpha)$、$\hat{x}_{ij}(\alpha)$、$\tilde{x}_{ij}(\alpha)$，以尊重辛和酉形式。
• 使用 $\mathrm{GF}(q)$ 或 $\mathrm{GF}(q^2)$ 的本原元 $\xi$ 生成具有非平凡元素的对角矩阵。
• 引入特殊元素如 $\eta$（$\mathrm{GF}(q^2)$ 中的迹为零元素）和满足 $\beta + \overline{\beta} = -1$ 的 $\beta$，以定义酉和特殊酉生成元。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 Steinberg 对有限单李型群的抽象双生成元结果，具体实现为有限域上的矩阵生成元？
• RQ2 GL(n,q)、SL(n,q)、Sp(2n,q)、U(n,q) 和 SU(n,q) 的显式矩阵形式生成元，如何用初等矩阵和置换表示？
• RQ3 经典群的根系结构在有限域背景下如何转化为矩阵运算？
• RQ4 在偶特征、奇特征及酉群中，生成元构造需要进行哪些修改？
• RQ5 能否应用统一方法，通过一对最小矩阵生成所有经典矩阵群？

主要发现

• 对于 $\mathrm{GL}(n,q)$，$q \neq 2$，该群由 $h_1(\xi)$ 和 $x_{12}(1)w$ 生成，且提供了显式的矩阵形式。
• 对于 $\mathrm{SL}(n,q)$，$q > 3$，生成元为 $h_1(\xi)h_2(\xi^{-1})$ 和 $x_{12}(1)w$，均为矩阵形式。
• 对于 $\mathrm{SL}(n,2)$ 和 $\mathrm{SL}(n,3)$，生成元为 $x_{12}(1)$ 和 $n$-循环单项矩阵 $w$，并给出了显式矩阵。
• 对于 $\mathrm{Sp}(2n,q)$，$q$ 为奇数，生成元为 $\hat{h}_1(\xi)$ 和 $\hat{x}_{12}(1)\hat{w}$，其中 $\hat{w}$ 编码了带符号变化的 $2n$-循环。
• 对于 $\mathrm{Sp}(2n,q)$，$q$ 为偶数且 $q \neq 2$，生成元为 $\hat{h}_1(\xi)\hat{h}_n(\xi)$ 和 $\hat{x}_{1n}(1)\hat{z}_1(1)\hat{w}$，其中 $\hat{z}_i(\alpha)$ 为长根平移变换。
• 对于 $\mathrm{SU}(3,2)$，生成元显式给出为 $\begin{pmatrix}1&\xi&\xi\\0&1&\xi^2\\0&0&1\end{pmatrix}$ 和 $\begin{pmatrix}\xi&1&1\\1&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}$。