[论文解读] Pairwise preferences in the stable marriage problem

Ágnes Cseh, Attila Juhos|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2018

Game Theory and Voting Systems被引用 1

一句话总结

本文研究了在广义成对偏好下的稳定婚姻问题，引入了从完全无环到严格有序列表的六种偏好有序性等级。提出了三种多项式时间算法和两个NP完全性证明，精确界定了在不同偏好结构下弱稳定、强稳定和超稳定情形的可解与不可解边界——解决了该领域长期存在的复杂性问题。

ABSTRACT

We study the classical, two-sided stable marriage problem under pairwise preferences. In the most general setting, agents are allowed to express their preferences as comparisons of any two of their edges and they also have the right to declare a draw or even withdraw from such a comparison. This freedom is then gradually restricted as we specify six stages of orderedness in the preferences, ending with the classical case of strictly ordered lists. We study all cases occurring when combining the three known notions of stability---weak, strong and super-stability---under the assumption that each side of the bipartite market obtains one of the six degrees of orderedness. By designing three polynomial algorithms and two NP-completeness proofs we determine the complexity of all cases not yet known, and thus give an exact boundary in terms of preference structure between tractable and intractable cases.

研究动机与目标

• 分析当偏好被广义化为严格顺序之外的成对比较、并列关系和不可比性时，稳定婚姻问题的计算复杂性。
• 研究从非对称关系到偏序集（posets）和严格有序列表的不同偏好有序性等级如何影响稳定匹配的存在性和计算。
• 确定在这些广义偏好模型下，弱稳定、强稳定和超稳定情形的多项式时间可解与NP完全问题之间的精确边界。
• 将现有的稳定概念（弱、强、超）扩展到更广泛的偏好结构，特别是偏序集和非对称关系。
• 探索稳定匹配的结构性质，包括Rural Hospitals定理的有效性以及在广义偏好下是否存在分配格结构。

提出的方法

• 引入六种偏好有序性等级，从非对称关系（无传递性）到严格有序列表，构成偏好表达力的层次结构。
• 基于成对比较定义三种稳定概念——弱稳定、强稳定和超稳定，其中阻塞条件依赖于相互偏好比较，而非总序关系。
• 设计一种在偏序集和非对称关系下计算超稳定匹配的多项式时间算法，采用改进的Gale-Shapley式提议机制，并结合动态参与更新。
• 实现一种基于提议的算法，根据相对偏好排名维护参与关系，拒绝那些不如当前匹配的提议。
• 通过从3-SAT问题的归约，证明在无环成对偏好下，超稳定匹配问题是NP完全的，即使每个参与者的可接受对象数上限为4。
• 利用Rural Hospitals定理证明，在广义成对偏好设置下，所有稳定匹配中被匹配的参与者集合保持不变。

实验结果

研究问题

• RQ1 当偏好以偏序集或非对称关系表示时，确定超稳定匹配存在的计算复杂性为何？
• RQ2 随着偏好结构的有序性降低——从严格列表到偏序集和非对称关系——稳定婚姻问题的复杂性如何变化？
• RQ3 当偏好广义化到偏序集之外时，超稳定匹配的分配格结构是否仍然保持？
• RQ4 在无环成对偏好下，强稳定匹配问题是否可多项式时间求解，还是为NP完全？
• RQ5 在广义成对偏好模型中，诸如Rural Hospitals定理等结构性质在多大程度上仍然成立？

主要发现

• 当偏好以无环成对关系表示时，超稳定匹配的存在性问题是NP完全的，即使每个参与者最多认为四个对象可接受。
• 即使在非对称偏好关系下，该问题仍为NP完全，而这类关系的结构化程度低于偏序集，表明复杂性源于缺乏传递闭包。
• 提出了一种在偏好以偏序集表示时计算超稳定匹配的多项式时间算法，将已知结果扩展到更一般的偏好结构。
• Rural Hospitals定理对所有三种稳定概念（弱、强、超）在成对偏好下均成立，即所有稳定匹配中被匹配的参与者集合保持不变。
• 当偏好以偏序集表示时，超稳定匹配的集合构成一个分配格，但该结构无法推广至更一般的偏好类型（如非对称关系）。
• 本研究确立了精确的复杂性边界：当偏好为偏序集时，超稳定匹配可多项式时间求解；但一旦允许无环成对偏好（无传递性），问题即变为NP完全。