[论文解读] Paley Graphs and Their Generalization

Ahmed Noubi Elsawy|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2012

Finite Group Theory Research参考文献 13被引用 6

一句话总结

本文通过在有限域上定义 m- Paley 图，将经典 Paley 图推广。图中顶点之间若其差属于乘法群中的 m 次幂，则相连。证明了 m-Paley 图是对称的，当 d = gcd(m, q−1) > 1 时为 (q−1)/d-正则图，且在素数阶时连通，但对合数阶的素数幂不一定是连通的；此外，与经典 Paley 图不同，它们不是自补图。

ABSTRACT

To construct a Paley graph, we fix a finite field and consider its elements as vertices of the Paley graph. Two vertices are connected by an edge if their difference is a square in the field. We will study some important properties of the Paley graphs. In particular, we will show that the Paley graphs are connected, symmetric, and self-complementary. Also we will show that the Paley graph of order q is (q-1)/2 -regular, and every two adjacent vertices have (q-5)/4 common neighbors, and every two non-adjacent vertices have q-1/4 common neighbors, which means that the Paley graphs are strongly regular with parameters(q,q-1/2,q-5/4, q-1/4). Paley graphs are generalized by many mathematicians. In the first section of Chapter 3 we will see three examples of these generalizations and some of their basic properties. In the second section of Chapter 3 we will define a new generalization of the Paley graphs, in which pairs of elements of a finite field are connected by an edge if and only if there difference belongs to the m-th power of the multiplicative group of the field, for any odd integer m > 1, and we call them the m-Paley graphs. In the third section we will show that the m-Paley graph of order q is complete if and only if gcd(m, q - 1) = 1 and when d = gcd(m, q - 1) > 1, the m-Paley graph is q-1/d -regular. Also we will prove that the m-Paley graphs are symmetric but not self-complementary. We will show also that the m-Paley graphs of prime order are connected but the m-Paley graphs of order p^n, n > 1 are not necessary connected, for example they are disconnected if gcd(m, p^n - 1) =(p^n-1)/ 2.

研究动机与目标

• 将经典 Paley 圖构造推广至更广义的图类，利用有限域中的 m 次幂差。
• 分析这些推广的 m-Paley 圖的结构性质，如正则性、对称性与连通性。
• 确定 m-Paley 圖为完全图、正则图或不连通图的条件，特别是依赖于 gcd(m, q−1) 的情况。
• 将新的 m-Paley 圖与经典 Paley 圖进行比较，尤其关注自补性与强正则性。
• 建立一个研究基于有限域、具有受控代数与组合性质的图的框架。

提出的方法

• 通过定义：若两个顶点在有限域中的差属于乘法群中的 m 次幂，则连接它们，从而构造 m-Paley 圖。
• 利用有限域乘法群的群论性质，分析边集与正则性。
• 应用数论工具，特别是 gcd(m, q−1)，以确定 m-Paley 圖中的正则度。
• 利用域阶 q = p^n，研究在素数与合数域扩张下的连通性。
• 通过证明在域自同构与顶点对上的群作用下不变，来证明对称性。
• 通过计数公共邻居的方法评估正则性，并与经典 Paley 圖的参数进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，阶为 q 的 m-Paley 圖是完全图？
• RQ2 m-Paley 圖的正则性如何依赖于 gcd(m, q−1)？
• RQ3 m-Paley 圖是否对称？它们是否保留了经典 Paley 圖的自补性质？
• RQ4 对于哪些 n 值，阶为 p^n 的 m-Paley 圖是连通的？
• RQ5 在 m-Paley 圖中，相邻与非相邻顶点的公共邻居数量分别是多少？

主要发现

• 当且仅当 gcd(m, q−1) = 1 时，m-Paley 圖为完全图。
• 当 d = gcd(m, q−1) > 1 时，m-Paley 圖为 (q−1)/d-正则图。
• m-Paley 圖是对称的，因为它们在域自同构与群作用下保持不变。
• m-Paley 圖不是自补图，这使其与经典 Paley 圖相区别。
• 阶为素数的 m-Paley 圖是连通的，但阶为 p^n 且 n > 1 的 m-Paley 圖可能不连通，尤其当 gcd(m, p^n−1) = (p^n−1)/2 时。
• m-Paley 圖不满足经典 Paley 圖的强正则性参数，因为相邻与非相邻顶点对的公共邻居数量不一致。