[论文解读] Parallel Reachability in Almost Linear Work and Square Root Depth

Arun Jambulapati, Yang P. Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|May 21, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 15被引用 11

一句话总结

本文提出了一种有向图中单源可达性的并行算法，其工作量接近线性（$\widetilde{O}(m)$），深度接近最优（$n^{1/2+o(1)}$），且高概率成立。该算法引入了一种新颖的捷径技术以减小图的直径，从而在 CONGEST 模型中实现高效的分布式计算，耗时 $\widetilde{O}(n^{1/2} + n^{1/3+o(1)}D^{2/3})$ 轮，对于直径 $D = O(n^{1/4-ε}})$ 的图而言近乎最优。该方法结合了随机采样、分层分解以及通过捷径边实现的递归直径减小，以达到这些界限。

ABSTRACT

In this paper we provide a parallel algorithm that given any $n$-node $m$-edge directed graph and source vertex $s$ computes all vertices reachable from $s$ with $ ilde{O}(m)$ work and $n^{1/2 + o(1)}$ depth with high probability in $n$ . This algorithm also computes a set of $ ilde{O}(n)$ edges which when added to the graph preserves reachability and ensures that the diameter of the resulting graph is at most $n^{1/2 + o(1)}$. Our result improves upon the previous best known almost linear work reachability algorithm due to Fineman which had depth $ ilde{O}(n^{2/3})$. Further, we show how to leverage this algorithm to achieve improved distributed algorithms for single source reachability in the CONGEST model. In particular, we provide a distributed algorithm that given a $n$-node digraph of undirected hop-diameter $D$ solves the single source reachability problem with $ ilde{O}(n^{1/2} + n^{1/3 + o(1)} D^{2/3})$ rounds of the communication in the CONGEST model with high probability in $n$. Our algorithm is nearly optimal whenever $D = O(n^{1/4 - ε})$ for any constant $ε> 0$ and is the first nearly optimal algorithm for general graphs whose diameter is $Ω(n^δ)$ for any constant $δ$.

研究动机与目标

• 设计一种并行可达性算法，实现接近线性的工作量和亚线性深度，具体为 $n^{1/2+o(1)}$，优于之前最佳深度 $\widetilde{O}(n^{2/3})$。
• 在 CONGEST 模型中开发一种分布式算法，实现一般有向图的近乎最优轮复杂度，尤其适用于无向跳数直径 $D$ 较大的情况。
• 构建一组小规模的捷径边，以在高概率下保持可达性的同时，将图的直径减小至 $n^{1/2+o(1)}$。
• 通过利用 hopsets 和递归分解，弥合理论下界与分布式及并行可达性实际性能之间的差距。

提出的方法

• 使用随机顶点采样构建一个骨架图 $G_T$，其顶点数为 $\widetilde{O}(n)$，其中边表示原图中长度不超过 $h$ 的短路径。
• 在骨架图上应用递归并行直径减小算法 $\textsc{ParallelDiam}$，通过 $\widetilde{O}(n)$ 条捷径边将直径减小至 $n^{1/2+o(1)}$。
• 利用图的直径为 $D$ 时，可达性可在 $O(D)$ 深度和 $O(m)$ 工作量内计算的事实，因此减小直径可实现更快的可达性计算。
• 通过在每个并行深度步骤后全局广播可达性信息和捷径更新，在 CONGEST 模型中模拟并行算法，每轮通信量为 $\widetilde{O}(\alpha)$ 条消息。
• 优化参数 $\alpha$（采样集 $T$ 的大小），以平衡通信成本与深度，实现 $\widetilde{O}(n^{1/2} + n^{1/3+o(1)}D^{2/3})$ 轮。
• 采用分层分解策略，每个递归子问题维护其自身的捷径和标签集，由领导者协调参数选择。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种并行可达性算法，实现接近线性的工作量和亚线性于 $n$ 的深度，具体为 $n^{1/2+o(1)}$？
• RQ2 能否构造一组小规模的捷径边，以高概率将任意有向图的直径减小至 $n^{1/2+o(1)}$？
• RQ3 能否利用此类直径减小技术，设计出在 CONGEST 模型中针对单源可达性的近乎最优分布式算法？
• RQ4 该分布式算法的轮复杂度如何随图的无向跳数直径 $D$ 变化？
• RQ5 在分布式环境中模拟并行算法时，通信成本与深度之间存在何种权衡？

主要发现

• 本文提出了一种并行可达性算法，其工作量为 $\widetilde{O}(m)$，深度为 $n^{1/2+o(1)}$，优于先前最佳深度 $\widetilde{O}(n^{2/3})$。
• 该算法计算出一组 $\widetilde{O}(n)$ 条捷径边，可在高概率下保持可达性并使图的直径减小至 $n^{1/2+o(1)}$。
• 在 CONGEST 模型中的分布式算法运行时间为 $\widetilde{O}(n^{1/2} + n^{1/3+o(1)}D^{2/3})$ 轮，当 $D = O(n^{1/4-\varepsilon})$ 时近乎最优，其中 $\varepsilon > 0$ 为任意常数。
• 对于 $D \geq n^{1/4}$ 的图，设置 $\alpha = n^{2/3}/D^{2/3}$ 可使轮复杂度为 $\widetilde{O}(D^{2/3}n^{1/3+o(1)})$，与目前已知的最佳下界仅相差对数因子。
• 该算法在具有大直径的一般有向图上实现了近乎最优性能，是首个针对 $D = \Omega(n^\delta)$（$\delta > 0$ 为常数）的此类近乎最优算法。
• 在 CONGEST 模型中模拟并行算法时，通信轮数为 $\widetilde{O}(\alpha + D\alpha^{1/2+o(1)})$，通过平衡采样参数 $\alpha$ 实现了最优性能。