[论文解读] Parallel tractor extension and ambient metrics of holonomy split G_2

C. Robin Graham, Travis Willse|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 28被引用 4

一句话总结

本文证明，将共形结构的环境度量构造应用于5-流形上的实解析通用2-平面场，可得到一个符号为(3,4)的里奇平坦度量，其全息性包含于分裂实形式$G_2$。若在每点满足两个点态非退化条件——韦尔-科顿映射$L_x$与4-形式不变量$A$——则全息性等于$G_2$，从而将早期显式构造推广至一大类几何结构。

ABSTRACT

The holonomy of the ambient metrics of Nurowski's conformal structures associated to generic real-analytic 2-plane fields on 5-manifolds is investigated. It is shown that the holonomy is always contained in the split real form G_2 of the exceptional Lie group, and is equal to G_2 for an open dense set of 2-plane fields given by explicit conditions. In particular, this gives an infinite-dimensional family of metrics of holonomy equal to split G_2. These results generalize work of Leistner-Nurowski. The inclusion of the holonomy in G_2 is established by proving an ambient extension theorem for parallel tractors for conformal structures in general signature and dimension, which is expected to be of independent interest. Parallel extension beyond the critical order in even dimensions is considered in certain cases.

研究动机与目标

• 将全息性包含$\operatorname{Hol}(\widetilde{g}) \subset G_2$的结果从显式8参数族扩展至所有实解析通用2-平面场在5-流形上的情形。
• 确定点态几何条件，使得环境度量$\widetilde{g}$具有完整的$G_2$全息性。
• 刻画几何条件——特别是韦尔-科顿映射$L_x$的秩与卡坦不变量$A$的3-非退化性——以确保$\operatorname{Hol}(\widetilde{g}) = G_2$。
• 证明这些条件在局部2-平面场空间中为典型情形，确认$G_2$全息性在实解析范畴中具有普遍性。

提出的方法

• 利用费弗尔曼-格雷厄姆的环境度量构造，将与通用2-平面场$\mathcal{D}$相关的符号为(2,3)的实解析共形结构提升为$\mathbb{R}_+ \times M \times \mathbb{R}$上符号为(3,4)的里奇平坦度量$\widetilde{g}$。
• 应用卡坦的等价方法与标准卡坦联络，将共形结构的韦尔张量与科顿张量用卡坦的标量不变量$A, B, C, D, E$表示。
• 通过$ L_x(v,\lambda) = W_{ijkl}v^i + C_{jkl}\lambda $定义线性映射$ L_x: T_xM \times \mathbb{R} \to \otimes^3 T_x^*M $，其秩为共形不变量，用作非退化性条件。
• 引入对对称4-形式$A \in S^4\mathcal{D}^*$的3-非退化性条件，定义为：不存在非零$X \in \mathcal{D}_x$使得对所有$Y \in \mathcal{D}_x$都有$A(Y,X,X,X) = 0$。
• 利用标准卡坦联络与曲率分量$\Omega_{ijkl}$，将韦尔张量与科顿张量显式表示为不变量的函数，证明$W_{ijkl} = \Omega_{ijkl} \circ \sigma$与$C_{jkl} = \Omega_{jkl} \circ \sigma$。
• 分析韦尔张量空间在$SL(2,\mathbb{R})$表示下的分解，识别出对应于通用2-平面场的15维子空间，并将$S^4$-分量分离为不变量$A$。

实验结果

研究问题

• RQ1 任何5-流形上实解析通用2-平面场的环境度量是否具有包含于$G_2$的全息性？
• RQ2 韦尔张量与科顿张量的哪些点态几何条件可确保环境度量具有完整的$G_2$全息性？
• RQ3 $L_x$为单射（秩为6）的条件在实解析2-平面场中是否典型？
• RQ4 对通用2-平面场而言，卡坦不变量$A$在某点的3-非退化性是否典型？
• RQ5 卡坦不变量$A, B, C, D, E$在$SL(2,\mathbb{R})$作用下的分解如何？哪些分量对应于韦尔张量与科顿张量？

主要发现

• 任何5-流形上实解析通用2-平面场$\mathcal{D}$对应的环境度量$\widetilde{g}$满足$\operatorname{Hol}(\widetilde{g}) \subset G_2$，将勒斯特纳-努罗夫斯基的结果从显式族推广至更广范围。
• 若在某点$x \in M$，映射$L_x$的秩为6（即单射），且在某点$y \in M$，4-形式$A_y$为3-非退化，则$\operatorname{Hol}(\widetilde{g}) = G_2$。
• $L_x$秩小于6或$A_x$为3-退化的2-平面场集合包含于喷射空间的真代数子簇中，表明$G_2$全息性条件具有典型性。
• 在正常形式$\mathcal{D} = \operatorname{span}\{\partial_q, \partial_x + p\partial_y + q\partial_p + F\partial_z\}$下，且$F_{qq} \neq 0$，韦尔张量与科顿张量的分量分别为$F$及其至多6阶与7阶导数的有理函数。
• 韦尔张量分量$W_{ijkl}$与科顿张量分量$C_{jkl}$通过标准卡坦联络的曲率分量$\Omega_{ijkl}$与$\Omega_{jkl}$显式表达，其中$W_{ijkl} = \Omega_{ijkl} \circ \sigma$，$C_{jkl} = \Omega_{jkl} \circ \sigma$。
• 卡坦不变量$A$为对称张量，且在$SL(2,\mathbb{R})$作用下对应于韦尔张量的$S^4$-分量，其3-非退化性是全$G_2$全息性的必要且充分条件（与$L_x$单射性共同作用）。