[论文解读] Parameterized Quantum Query Complexity of Graph Collision

Andris Ambainis, Kaspars Balodis+3 more|arXiv (Cornell University)|May 5, 2013

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文在量子查询模型中为图冲突问题提出了三种新的量子算法，基于图参数实现了改进的查询复杂度：对于树宽 $t$，复杂度为 $O(\sqrt{n}t^{1/6})$；使用一种新的图参数 $\alpha^{**}$ 的广义程序，复杂度为 $O(\sqrt{n} + \sqrt{\alpha^{**}})$；对于一类循环图的子类，复杂度为 $O(\sqrt{n})$。主要贡献是一种基于广义程序的新算法，优于以往结果，并识别出一个潜在困难的图实例，现有方法无法实现亚 $O(n^{2/3})$ 复杂度。

ABSTRACT

We present three new quantum algorithms in the quantum query model for extsc{graph-collision} problem: \begin{itemize} \item an algorithm based on tree decomposition that uses $O\left(\sqrt{n}t^{\sfrac{1}{6}} ight)$ queries where $t$ is the treewidth of the graph; \item an algorithm constructed on a span program that improves a result by Gavinsky and Ito. The algorithm uses $O(\sqrt{n}+\sqrt{α^{**}})$ queries, where $α^{**}(G)$ is a graph parameter defined by \[α^{**}(G):=\min_{VC ext{-- vertex cover of}G}{\max_{\substack{I\subseteq VC\\I ext{-- independent set}}}{\sum_{v\in I}{°{v}}}};\] \item an algorithm for a subclass of circulant graphs that uses $O(\sqrt{n})$ queries. \end{itemize} We also present an example of a possibly difficult graph $G$ for which all the known graphs fail to solve graph collision in $O(\sqrt{n} \log^c n)$ queries.

研究动机与目标

• 为图冲突问题设计参数化的量子查询算法，使其在特定图类上优于一般的 $O(n^{2/3})$ 上界。
• 引入一个新的图参数 $\alpha^{**}(G)$，基于点覆盖和独立集，以指导算法设计。
• 提出一种基于广义程序的算法，优于 Gavinsky 和 Ito 的先前结果。
• 识别出一个图构造 $CS(n)$，可能抵抗现有量子算法，提示在一般情况下实现 $O(\sqrt{n})$ 复杂度存在固有困难。

提出的方法

• 利用树分解将顶点划分为 $O(n/t)$ 个大小为 $O(t)$ 的子集，通过 Grover 搜索在子集上实现 $O(\sqrt{n}t^{1/6})$ 次查询。
• 构建一个图冲突的广义程序，实现 $O(\sqrt{n} + \sqrt{\alpha^{**}})$ 的查询复杂度，其中 $\alpha^{**}(G) = \min_{\text{VC}} \max_{I \subseteq \text{VC}, \, I \text{ 独立}} \sum_{v \in I} \deg v$。
• 针对循环图 $CI(n,a,b)$ 设计专用算法，将顶点划分为大小为 $b-a$ 的块，通过子程序中的 Grover 搜索实现每块 $O(\sqrt{b-a})$ 次查询。
• 使用两阶段子程序：首先在块中找到最左和最右满足 $x_v = 1$ 的顶点，然后在区间 $[u,v]$ 中使用 Grover 搜索检查是否存在满足 $x_s = 1$ 的顶点。
• 利用 $CI(n,a,b)$ 的循环对称性，确保任何涉及块中顶点的冲突都必须通过检查围绕活动顶点的有界区间来检测。
• 分析独立数 $\alpha(CS(n))$ 及其对已知算法的影响，表明基于 $\alpha$ 和 $\alpha^*$ 的现有界会导致 $CS(n)$ 的查询复杂度高于 $O(\sqrt{n})$。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于树宽有界的图，图冲突问题能否在 $O(\sqrt{n})$ 次量子查询内解决？
• RQ2 新参数 $\alpha^{**}(G)$ 是否能带来比 $\alpha$ 或 $\alpha^*$ 等先前图参数更高效的量子算法？
• RQ3 基于广义程序的方法能否在图冲突问题上实现优于现有学习图或 Grover 基方法的可证明更优查询复杂度？
• RQ4 是否存在一个具体图，使得所有已知量子算法均需 $\Omega(n^{2/3})$ 次查询，从而表明在一般情况下实现 $O(\sqrt{n})$ 复杂度存在潜在障碍？
• RQ5 循环图 $CI(n,a,b)$ 上图冲突的查询复杂度是多少？能否在 $O(\sqrt{n})$ 次查询内解决？

主要发现

• 本文提出了一种针对树宽为 $t$ 的图的图冲突问题的量子算法，其查询复杂度为 $O(\sqrt{n}t^{1/6})$，当 $t$ 为次线性时，优于一般的 $O(n^{2/3})$ 上界。
• 提出一种基于广义程序的新算法，实现 $O(\sqrt{n} + \sqrt{\alpha^{**}})$ 次查询，其中 $\alpha^{**}(G)$ 定义为所有点覆盖中，覆盖内独立集的顶点度数之和的最大值的最小值。
• 针对一类特定的循环图 $CI(n,a,b)$，本文构造了一种量子算法，可在 $O(\sqrt{n})$ 次查询内解决图冲突问题，达到最优上界。
• 本文识别出一个图 $CS(n)$（即距离为不超过 $n/2$ 的完全平方数的顶点之间连边）作为现有算法无法实现 $O(\sqrt{n})$ 查询复杂度的候选图。
• 对于 $CS(n)$，现有 $\alpha$ 和 $\alpha^*$ 的最佳已知界表明，现有算法的查询复杂度介于 $O(n^{0.622})$ 和 $O(n^{3/4}/\log^c n)$ 之间，提示 $CS(n)$ 可能是当前方法的困难实例。
• 结果表明，尽管对特定图族可实现 $O(\sqrt{n})$ 复杂度，但一般图冲突问题仍为开放问题，尚无已知的 $O(\sqrt{n})$ 算法适用于任意图。