[论文解读] Parametrix method and the weak solution to an SDE driven by an $\alpha$-stable noise

Victoria Knopova, Alexei Kulik|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2014

Stochastic processes and financial applications被引用 7

一句话总结

该论文提出了一种新颖的参数解法，用于构造由 $α$-稳定 Lévy 白噪声驱动的随机微分方程（SDE）的转移密度，并建立其弱解的双边估计。该生成元包含一个非退化的 $α$-稳定跳跃成分和一个漂移项。关键贡献在于，即使在 $0 < α ≤ 1$ 且漂移项非零的情况下，也无需假设漂移项被跳跃部分主导，即可处理该情形。

ABSTRACT

Let $L:= a(x) (-\Delta)^{-\alpha/2}+ (b(x), abla)$, where $\alpha\in (0,2)$, and $a:\mathbb{R}^d o \mathbb{R}$, $b: \mathbb{R}^d o \mathbb{R}^d$ are H\older continuous. We show that the $C_\infty(\mathbb{R}^d)$-closure of $(L, C_\infty^2(\mathbb{R}^d))$ is the generator of a Feller Markov process $X$, which possesses a transition probability density $p_t(x,y)$. Complete description of this process is given both in terms of a martingale problem and as a weak solution to an SDE driven by an $\alpha$-stable noise. To construct the transition probability density and to obtain the two-sided estimates for it, we develop a new version of the parametrix method, which allows one to handle the case where $0<\alpha\leq 1$ and $b eq 0$; that is, in our approach the gradient part of the generator is not required to be dominated by the jump part.

研究动机与目标

• 为 $\alpha \in (0,2)$ 构造一个生成元为 $L = a(x)(-Δ)^{-\alpha/2} + (b(x), \nabla)$ 的 Feller 马尔可夫过程。
• 建立与该过程相关的转移概率密度 $p_t(x,y)$ 的存在性。
• 通过马尔可夫问题和作为带有 $α$-稳定噪声的 SDE 的弱解两种方式，对过程进行完整表征。
• 开发一种参数解法，无需要求漂移项被跳跃部分主导，尤其适用于具有挑战性的情形 $0 < \alpha \leq 1$。

提出的方法

• 提出了一种参数解法的新版本，用于处理具有 Hölder 连续系数 $a(x)$ 和 $b(x)$ 的非局部算子。
• 通过迭代地利用漂移和扩散分量校正稳定过程的转移密度，该方法构造了基本解。
• 在 $a$ 和 $b$ 的 Hölder 连续性假设下，证明了参数解级数的收敛性，即使在 $\alpha \leq 1$ 时也成立。
• 通过依赖于 $α$-稳定过程的标度性质，对迭代核进行估计，从而建立收敛性。
• 该方法使得在无需假设漂移项相对于跳跃部分为低阶项的前提下，推导出转移密度 $p_t(x,y)$ 的双边界成为可能。
• 该过程被表征为由 $α$-稳定 Lévy 过程驱动的 SDE 的弱解，其 Feller 性质通过在 $C_\infty(\mathbb{R}^d)$ 中对生成元的闭包得到验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $0 < \alpha \leq 1$ 且漂移项非零时，是否可以将参数解法扩展至构造具有 $α$-稳定噪声的 SDE 的转移密度？
• RQ2 是否可能在不假设漂移项被跳跃部分主导的前提下，推导出转移密度的双边估计？
• RQ3 如何将生成元 $L = a(x)(-Δ)^{-\alpha/2} + (b(x), \nabla)$ 实现为 Feller 过程的生成元？
• RQ4 对 $a(x)$ 和 $b(x)$ 的何种条件可确保由 $α$-稳定噪声驱动的 SDE 存在弱解？
• RQ5 该过程是否能通过马尔可夫问题和弱 SDE 表述等价地进行表征？

主要发现

• 算子 $(L, C_\infty^2(\mathbb{R}^d))$ 在 $C_\infty(\mathbb{R}^d)$ 中的闭包生成一个 Feller 马尔可夫过程。
• 该过程具有一个转移概率密度 $p_t(x,y)$，其在 $(t,x,y)$ 上连续，并满足双边估计。
• 参数解法即使在 $0 < \alpha \leq 1$ 的情况下也能成功构造密度和估计，克服了非主导漂移带来的挑战。
• 该方法无需要求漂移项被跳跃部分主导，从而将适用范围扩展至此前难以处理的参数区域。
• 该过程被表征为由 $α$-稳定 Lévy 过程驱动的 SDE 的弱解。
• 该过程满足与生成元 $L$ 相关的马尔可夫问题，证实了其概率一致性。