[论文解读] Pareto-Optimal Allocation of Indivisible Goods with Connectivity Constraints

Ayumi Igarashi, Dominik Peters|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2018

Game Theory and Voting Systems参考文献 17被引用 6

一句话总结

本文研究在给定物品图中捆绑包必须连通的连通性约束下，不可分物品的帕累托最优分配问题。研究发现，当物品图为路径或星形图时，帕累托最优性可在多项式时间内求解，但问题在一般树形图上变为 NP-难，即使在二值估值下也成立，且在各种结构约束下均成立。值得注意的是，本文证明了在路径上，帕累托最优且满足‘除一个物品外无 envy’（EF1）的分配可能不存在，且判断其存在性也是 NP-难的，即使在二值估值下也是如此。

ABSTRACT

We study the problem of allocating indivisible items to agents with additive valuations, under the additional constraint that bundles must be connected in an underlying item graph. Previous work has considered the existence and complexity of fair allocations. We study the problem of finding an allocation that is Pareto-optimal. While it is easy to find an efficient allocation when the underlying graph is a path or a star, the problem is NP-hard for many other graph topologies, even for trees of bounded pathwidth or of maximum degree 3. We show that on a path, there are instances where no Pareto-optimal allocation satisfies envy-freeness up to one good, and that it is NP-hard to decide whether such an allocation exists, even for binary valuations. We also show that, for a path, it is NP-hard to find a Pareto-optimal allocation that satisfies maximin share, but show that a moving-knife algorithm can find such an allocation when agents have binary valuations that have a non-nested interval structure.

研究动机与目标

• 研究当捆绑包必须在给定物品图中连通时，寻找帕累托最优分配的计算复杂性。
• 在连通性约束下，考察帕累托最优性与公平性标准（如最大最小份额 MMS 和除一个物品外无 envy EF1）之间的权衡。
• 确定在哪些图拓扑结构（如路径、星形图、树）下，帕累托最优分配可被高效计算。
• 分析在连通性约束下，既满足帕累托最优性又具备公平性保障的分配的存在性与可计算性。

提出的方法

• 通过构造性算法，证明当物品图为路径或星形图时，帕累托最优分配可在多项式时间内求解。
• 通过从已知 NP-完全问题的归约，建立在树形图中寻找帕累托最优分配的 NP-难性，即使在路径宽、度数或直径有界的条件下也成立。
• 提出一种移动刀具算法，适用于二值估值且审批区间非嵌套的情形，该算法可保证帕累托最优性与 MMS 满足性。
• 使用图灵归约，证明在路径上判断帕累托最优 EF1 分配的存在性是 NP-难的，即使在二值估值下也成立。
• 通过归纳法与划分分析，证明在特定估值结构下，最大最小份额值在移除捆绑包后保持不变。
• 构造反例表明，当审批区间嵌套时，移动刀具算法会失效，揭示该方法的结构性局限。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种物品图拓扑结构下，可在连通性约束下以多项式时间计算帕累托最优分配？
• RQ2 即使物品图为路径，判断是否存在满足 EF1 的帕累托最优分配是否为 NP-难？
• RQ3 对于树形图，是否总能计算出满足 MMS 的帕累托最优分配？若可计算，是否可在多项式时间内完成？
• RQ4 帕累托最优 EF1 分配的存在性是否依赖于代理人的估值结构，特别是在路径上二值估值的情形下？
• RQ5 在何种代理人的偏好条件下（如非嵌套审批区间），可设计出多项式时间算法，以计算帕累托最优且满足 MMS 的分配？

主要发现

• 当物品图为路径或星形图时，即使在加法估值或二值估值下，帕累托最优分配也可在多项式时间内计算。
• 当物品图为树形图时，寻找帕累托最优分配的问题变为 NP-难，即使树的路径宽、直径或最大度数有界。
• 判断是否存在满足 EF1 的帕累托最优分配是 NP-难的，即使在路径上使用二值估值，且此类分配可能根本不存在。
• 即使物品图为路径，寻找满足 MMS 的帕累托最优分配也是 NP-难的，且对任意 α > 0，α-MMS 情形下同样困难。
• 当代理人的估值为二值且审批区间结构非嵌套时，移动刀具算法可在多项式时间内计算出帕累托最优且满足 MMS 的分配。
• 反例表明，当审批区间嵌套时，即使在路径上，移动刀具算法也会失效，揭示该方法的结构性局限。