[论文解读] Parity Decision Tree Complexity and 4-Party Communication Complexity of XOR-functions Are Polynomially Equivalent

Penghui Yao|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2015

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 3被引用 4

一句话总结

该论文建立了布尔函数 $f$ 的奇偶性决策树复杂度与相应XOR函数 $F(x_1,\ldots,x_4) = f(x_1 \oplus \cdots \oplus x_4)$ 的四人信息传递复杂度之间的多项式等价性。利用加法组合数学中的工具，特别是Sanders关于流行差分的结果，作者证明了 $\mathrm{D}_{\oplus}(f) \leq \mathcal{O}(\mathrm{CC}^{(4)}(F)^5)$，表明当 $k \geq 4$ 时，这两种复杂度是多项式相关的，从而推进了XOR函数对数秩猜想的关键一步。

ABSTRACT

In this note, we study the relation between the parity decision tree complexity of a boolean function $f$, denoted by $\mathrm{D}_{\oplus}(f)$, and the $k$-party number-in-hand multiparty communication complexity of the XOR functions $F(x_1,\ldots, x_k)= f(x_1\oplus\cdots\oplus x_k)$, denoted by $\mathrm{CC}^{(k)}(F)$. It is known that $\mathrm{CC}^{(k)}(F)\leq k\cdot\mathrm{D}_{\oplus}(f)$ because the players can simulate the parity decision tree that computes $f$. In this note, we show that \[\mathrm{D}_{\oplus}(f)\leq O\big(\mathrm{CC}^{(4)}(F)^5\big).\] Our main tool is a recent result from additive combinatorics due to Sanders. As $\mathrm{CC}^{(k)}(F)$ is non-decreasing as $k$ grows, the parity decision tree complexity of $f$ and the communication complexity of the corresponding $k$-argument XOR functions are polynomially equivalent whenever $k\geq 4$. Remark: After the first version of this paper was finished, we discovered that Hatami and Lovett had already discovered the same result a few years ago, without writing it up.

研究动机与目标

• 研究布尔函数 $F(x_1,\ldots,x_k) = f(x_1 \oplus \cdots \oplus x_k)$ 的奇偶性决策树复杂度 $\mathrm{D}_{\oplus}(f)$ 与 $k$-人通信复杂度 $\mathrm{CC}^{(k)}(F)$ 之间的关系。
• 确定当 $k \geq 4$ 时，$\mathrm{D}_{\oplus}(f)$ 与 $\mathrm{CC}^{(k)}(F)$ 是否多项式等价，特别是在XOR函数对数秩猜想的背景下。
• 弥合现有上界与XOR函数通信复杂度中猜想的多项式等价性之间的差距。
• 通过奇偶性决策树建立 $f$ 的傅里叶稀疏性与通信复杂度之间的定量联系。

提出的方法

• 利用通过诱导XOR函数 $F(x_1,x_2,x_3,x_4) = f(x_1 + x_2 + x_3 + x_4)$ 的四人通信复杂度定义的向下非增度量 $M(f)$。
• 应用加法组合数学中关于流行差分的Sanders结果，以在大集合 $A_i \subseteq \mathbb{F}_2^n$ 的和集 $A_1 + A_2 + A_3 + A_4$ 中找到大仿射子空间。
• 证明：若存在复杂度为 $c$ 的四人协议，则存在一个余维数为 $\mathcal{O}(c^4)$ 的子空间，使得 $f$ 在其上为常数，从而推出 $\mathrm{C}_{\oplus,\min}(f) \leq \mathcal{O}(c^4)$。
• 将此结果与傅里叶稀疏性的已知界结合，推导出 $\mathrm{D}_{\oplus}(f) \leq \mathcal{O}(M(f)^4 \cdot \log \|\hat{f}\|_0)$，并利用 $M(f) \leq \mathrm{CC}^{(4)}(F)$ 和 $\log \|\hat{f}\|_0 \leq \mathrm{CC}^{(4)}(F)$ 得出主结论。
• 利用 $\mathrm{CC}^{(k)}(F)$ 关于 $k$ 非递减的性质，将多项式等价性推广至所有 $k \geq 4$。

实验结果

研究问题

• RQ1 奇偶性决策树复杂度 $\mathrm{D}_{\oplus}(f)$ 是否被对应XOR函数的四人通信复杂度 $\mathrm{CC}^{(4)}(F)$ 多项式有界？
• RQ2 能否用 $k$-参数XOR函数的通信复杂度来刻画 $f$ 的奇偶性决策树复杂度（当 $k \geq 4$ 时）？
• RQ3 若 $F$ 存在低复杂度的四人协议，是否意味着 $f$ 存在低复杂度的奇偶性决策树？
• RQ4 四人通信复杂度是否为 $\mathrm{D}_{\oplus}(f)$ 的多项式上界？若是，该多项式的次数是多少？

主要发现

• 该论文证明了 $\mathrm{D}_{\oplus}(f) \leq \mathcal{O}(\mathrm{CC}^{(4)}(F)^5)$，建立了奇偶性决策树复杂度相对于四人通信复杂度的多项式上界。
• 对于任意布尔函数 $f$，四人通信复杂度 $\mathrm{CC}^{(4)}(F)$ 与奇偶性决策树复杂度 $\mathrm{D}_{\oplus}(f)$ 是多项式等价的。
• 该结果依赖于在加法组合数学中对Sanders关于流行差分定理的创新应用，以在大集合的和集中找到大仿射子空间。
• 复杂度度量 $M(f)$ 的向下非增性质确保了该界在将 $f$ 限制于子空间时依然成立。
• 该界表明，当 $k \geq 4$ 时，XOR函数的对数秩猜想等价于一个关于奇偶性决策树复杂度的问题。