[论文解读] Parity games and universal graphs

Thomas Colcombet, Nathanaël Fijalkow|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2018

semigroups and automata theory参考文献 6被引用 7

一句话总结

本文引入了通用图（universal graphs）和饱和化技术（saturation technique），为非正规模的分离自动机（separating automata）、通用树（universal trees）与通用图在parity games中的等价性提供了另一种证明。研究确立了这三类结构均具有相同的准多项式下界，从而强化了通过此类构造求解parity games的准多项式下界屏障。

ABSTRACT

This paper is a contribution to the study of parity games and the recent constructions of three quasipolynomial time algorithms for solving them. We revisit a result of Czerwiński, Daviaud, Fijalkow, Jurdziński, Lazić, and Parys witnessing a quasipolynomial barrier for all three quasipolynomial time algorithms. The argument is that all three algorithms can be understood as constructing a so-called separating automaton, and to give a quasipolynomial lower bond on the size of separating automata. We give an alternative proof of this result. The key innovations of this paper are the notion of universal graphs and the idea of saturation.

研究动机与目标

• 基于分离自动机提供求解parity game算法的准多项式下界屏障的另一种证明。
• 引入通用图的概念，作为分析parity games的新结构框架。
• 开发一种饱和化技术，可将分离自动机转化为通用图，也将通用图转化为通用树。
• 通过结构等价性统一理解三种准多项式时间算法在parity games中的机制。
• 确立分离自动机、通用树与通用图的最小规模完全相等，从而证明了紧致的准多项式下界。

提出的方法

• 将(n,d)-通用图定义为具有d条边关系E_i和顶点划分的结构，满足parity条件，并能从所有(n,d)-parity图映射到该结构。
• 引入饱和化技术：对于图G，定义一个新图，使E_0成为全序关系，且更高阶的E_i关系在该序下封闭。
• 证明分离自动机的饱和化可生成通用图，通过构造从任意parity图到饱和化自动机的同态映射。
• 证明通用图的饱和化结果为通用树，通过验证饱和化图满足通用树的公理。
• 通过使用树的叶集作为状态，利用最小E_0后继定义转移关系，从通用树构造确定性分离自动机。
• 利用同态性质与序理论推理（特别是对E_0）验证所有构造的正确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过新的结构框架重新证明分离自动机的准多项式下界？
• RQ2 在parity games的背景下，分离自动机、通用树与通用图之间的关系是什么？
• RQ3 饱和化技术是否保持通用性，并实现这些对象之间的结构转换？
• RQ4 通用图能否作为构建求解parity game算法的基础结构？
• RQ5 分离自动机、通用树与通用图的最小规模是否相等？

主要发现

• 分离自动机、通用树与通用图的最小规模完全相等，确立了紧密的结构等价性。
• 分离自动机的饱和化产生通用图，而通用图的饱和化产生通用树。
• 通过饱和化构造的通用图满足parity条件，并能从所有(n,d)-parity图映射到该图。
• 从通用树构造的分离自动机是确定性的，能正确接受所有满足parity条件的路径，同时拒绝非parity路径。
• 饱和化过程保持原始结构的规模，确保某一结构的下界可直接适用于其他结构。
• 本文通过使用通用图与饱和化技术，而非通用树，为准多项式时间算法求解parity game的准多项式下界屏障提供了另一种证明。