[论文解读] Partial bi(co)module algebras, globalizations, and partial (L,R)-smash products

Felipe Castro, Antonio Paques+2 more|arXiv (Cornell University)|May 19, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文引入了部分双（共）模代数，并在部分霍普夫作用的背景下，将全局 $(L,R)$-群作用积推广为部分 $(L,R)$-群作用积。本文建立了部分 $H$-双模代数与双共模代数的全局化条件，证明当 $H^0$ 分离点时，此类全局化在 $H^0$-双模同构下彼此同构，并表明部分 $(L,R)$-群作用积构成一个结合代数，且在特定幂等元与作用条件下可具备单位元。

ABSTRACT

In this paper we introduce the notions of partial bimodule algebra and partial bico- module algebra. We also deal with the existence of globalizations for these structures, generalizing related results appeared in [2, 4]. As an application we construct the partial (L;R)-smash product, extending the corresponding global notion appeared in [14] to the context of partial Hopf actions.

研究动机与目标

• 将全局 $(L,R)$-群作用积的概念推广至部分霍普夫作用的设定。
• 定义并研究部分 $H$-双模代数与双共模代数，作为部分霍普夫作用的自然推广。
• 研究部分 $H$-双模代数与双共模代数的全局化存在性与结构。
• 构造部分 $H$-双模代数与部分 $H$-双共模代数的部分 $(L,R)$-群作用积，作为新的结合代数。
• 识别部分 $(L,R)$-群作用积具备单位元的条件，利用幂等元与与余单位的相容性。

提出的方法

• 通过满足公理 (LPMA1)-(LPMA3) 的左与右部分作用，引入部分 $H$-双模代数的概念，及其右向对应形式。
• 通过满足对偶公理的左与右部分共作用，定义部分 $H$-双共模代数，使用斯威德尔记号与有限对偶 $H^0$。
• 建立部分 $H$-双共模代数与部分 $H^0$-双模代数之间的对应关系，证明当 $H^0$ 分离点时，其全局化作为 $H^0$-双模彼此同构。
• 将部分 $(L,R)$-群作用积 $A\natural\bar{A}$ 构造为一个新代数，其乘法定义为 $(a\natural u)(b\natural v) = (a\flat u^{+1})(u^{-1}\rightharpoonup b)\natural u^{-0}v^{+0}$，利用部分作用与共作用。
• 利用部分作用与共作用的公理，证明部分 $(L,R)$-群作用积的结合性，并通过分量计算验证乘法规则。
• 识别充分条件——特别是涉及幂等元 $a \in A$ 与 $u \in \bar{A}$，以及与余单位的相容性——使得 $a\natural u$ 成为 $A\natural\bar{A}$ 中的单位元。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，部分 $H$-双模代数可实现全局化，且其与部分 $H$-双共模代数的全局化有何关系？
• RQ2 当 $H^0$ 分离点时，是否存在部分 $H$-双模代数的全局化与部分 $H$-双共模代数的全局化之间的典范同构？
• RQ3 部分 $H$-双模代数与部分 $H$-双共模代数的部分 $(L,R)$-群作用积是否可赋予单位元？何种条件可确保这一点？
• RQ4 部分作用与共作用的公理如何相互作用，以保证部分 $(L,R)$-群作用积的结合性？
• RQ5 在 $A$ 与 $\bar{A}$ 中的幂等元在构造部分 $(L,R)$-群作用积的单位元结构中起何种作用？

主要发现

• 当 $H^0$ 分离点时，部分 $H$-双模代数的全局化与部分 $H$-双共模代数的全局化作为 $H^0$-双模彼此同构。
• 在定义的乘法规则下，部分 $(L,R)$-群作用积 $A\natural\bar{A}$ 是一个结合代数，通过利用部分作用与共作用的公理进行直接计算得以验证。
• 若 $a \in A$ 与 $u \in \bar{A}$ 为非零幂等元，且满足 $h\rightharpoonup a = \varepsilon(h)a$ 与 $a\leftharpoonup h = \varepsilon(h)a$，同时 $\rho(u) = u \otimes 1_H$ 与 $\lambda(u) = 1_H \otimes u$，则 $a\natural u$ 是 $A\natural\bar{A}$ 中的幂等元。
• 当所有四个条件 (1)-(4) 成立时，$a\natural u$ 是 $A\natural\bar{A}$ 中的双边单位元，使得 $A\underline{\natural}\bar{A}$ 成为以 $a\natural u$ 为单位元的单位元代数。
• 该构造推广了标准群作用积与全局 $(L,R)$-群作用积，将其扩展至部分设定。
• 在 $H = \mathbb{H}_4$，$A = \bar{A} = \Bbbk$ 及特定部分作用与共作用的示例中，$(1_\Bbbk \natural 1_\Bbbk)^2 = 0$ 是可能的，表明除非满足对 $r, s, t, u$ 的条件，否则单位元可能不存在。