[论文解读] Partial fraction decompositions and an algorithm for computing the vector partition function

Todor Milev|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2009

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 12被引用 3

一句话总结

本论文提出了两种算法，用于在 pointed polyhedral cones 上将向量划分函数计算为广义多项式，使用 Laurent 多项式环中的部分分式分解。该论文为例外根系（E6: 6，E7: 12，E8: 60，F4: 12，G2: 6）的 Kostant 划分函数提供了明确的周期上界，并在 vectorpartition.sourceforge.net 上以 LGPLv3.0 许可公开发布了性能更高的 C++ 程序实现。

ABSTRACT

This paper gives an exposition of well known results on vector partition functions. The exposition is based on works of M. Brion, A. Szenes and M. Vergne and is geared toward explicit computer realizations. In particular, the paper presents two algorithms for computing the vector partition function with respect to a finite set of vectors $I$ as a quasipolynomial over a finite set of pointed polyhedral cones. We use the developed techniques to relate a result of P. Tumarkin and A. Felikson (and present an independent proof in the particular case of finite-dimensional root systems) to give bounds for the periods of the Kostant partition functions of $E_6$, $E_7$, $E_8$, $F_4$, $G_2$ (the periods are divisors of respectively 6, 12, 60, 12, 6). The first of the described algorithms has been realized and is publicly available under the Library General Public License v3.0 at {http://vectorpartition.sourceforge.net/}. We include (non-unique) partial fraction decompositions for the generating functions of the Kostant partition function for $A_2$, $A_3$, $A_4$, $B_2$, $B_3$, $C_2$, $C_3$, $G_2$ in the appendix.

研究动机与目标

• 开发显式且计算上可行的算法，用于在多面锥上将向量划分函数计算为广义多项式。
• 通过平行于输入向量秩-n-1 子集所张成超平面的墙，提供广义多项式性质的构造性证明。
• 利用部分分式分解技术，推导出例外李代数的 Kostant 划分函数周期的上界。
• 实现并公开发布一个高性能 C++ 程序，用于计算向量划分函数及其腔室分解。
• 为经典根系（A2–A4，B2–B3，C2–C3，G2）的 Kostant 划分函数生成函数提供非唯一的部分分式分解。

提出的方法

• 在环 ℚ[x₁,…,xₙ, x₁⁻¹,…,xₙ⁻¹] 中使用部分分式分解，分母形式为 (1−x^α)^l，避免使用单位根以提高计算效率。
• 使用扩展的 Szenes-Vergne 公式（引理 2.1(c)）生成初始部分分式分解。
• 应用第 6.1.1 节的约化算法，通过恒等式 1/(1−x^α) = (1+x^α)/(1−x^{2α}) 迭代简化分式，以消除短根分母。
• 采用两步算法：首先通过递归约化过程简化有理函数；其次通过变换消除冗余的短根。
• 使用自定义 C++ 实现，包含多项式、有理数运算、哈希表和多面锥剖分的模板类。
• 通过校验和验证正确性：在每次变换前后代入有理数值，以检测编程错误。

实验结果

研究问题

• RQ1 向量划分函数在有限组 pointed 多面锥上的广义多项式结构是怎样的？
• RQ2 如何系统地计算向量划分函数生成函数的部分分式分解，而无需使用单位根？
• RQ3 例外根系 E6、E7、E8、F4 和 G2 的 Kostant 划分函数的确切周期是什么？
• RQ4 能否实现并公开发布一个高效算法，用于计算向量划分函数及其腔室分解？
• RQ5 所提出的两种算法在性能上如何比较？对经典根系的哪些修改能提升效率？

主要发现

• 向量划分函数 P_I(γ) 是在有限组闭合、pointed 多面锥上的广义多项式，其墙平行于输入集合 I 中秩-n-1 子集所张成的超平面。
• 第 2 和第 3 节中基于部分分式分解的算法在实践中显著快于第 4 节中的基础算法。
• E6、E7、E8、F4 和 G2 的 Kostant 划分函数的周期上界分别为 6、12、60、12 和 6，且实际周期为这些值的因数。
• 第 6.1.1 节中针对经典根系优化的改进算法，由于采用了更优的约化规则，其性能优于第 2.3 节的一般算法。
• 向量划分函数程序的实现已公开发布于 http://vectorpartition.sourceforge.net/，采用 LGPLv3.0 许可。
• 为 A2、A3、A4、B2、B3、C2、C3 和 G2 的 Kostant 划分函数生成函数，显式计算并列出了非唯一的部分分式分解，详见附录。