[论文解读] Partial Hopf actions, partial invariants and a Morita context

Marcelo Muniz, Eliezer Batista|ArXiv.org|Jan 8, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用 26

一句话总结

该论文在有限维霍普夫代数作用于单位代数 $A$ 的部分作用下，建立了部分不变量 $A^{\mathfrak{H}}$ 与部分 smash 积 $\mathfrak{A\#H}$ 之间的莫里塔框架。它将霍普夫代数中的经典莫里塔理论推广到部分作用情形，并在余射影性映射与非零积分存在的前提下，证明该莫里塔框架为严格框架当且仅当扩展 $A^{\mathfrak{H}} \subset A$ 是霍普夫-伽罗瓦扩张。

ABSTRACT

Partial actions of Hopf algebras can be considered as a generalization of partial actions of groups on algebras. Among important properties of partial Hopf actions, it is possible to assure the existence of enveloping actions. This allows to extend several results from the theory of partial group actions to the Hopf algebraic setting. In this article, we explore some properties of the fixed point subalgebra with relations to a partial action of a Hopf algebra. We also construct, for partial actions of finite dimensional Hopf algebras a Morita context relating the fixed point subalgebra and the partial smash product. This is a generalization of a well known result in the theory of Hopf algebras for the case of partial actions. Finally, we study Hopf-Galois extensions and reobtain some classical results in the partial case.

研究动机与目标

• 将霍普夫代数中的经典莫里塔理论推广至部分霍普夫作用的情形。
• 为有限维霍普夫代数构造部分不变量 $A^{\mathfrak{H}}$ 与部分 smash 积 $\mathfrak{A\#H}$ 之间的莫里塔框架。
• 利用霍普夫-伽罗瓦性质刻画该莫里塔框架为严格框架的条件。
• 在部分作用框架下重新获得关于霍普夫-伽罗瓦扩张的经典结果。

提出的方法

• 将部分不变量 $A^{\mathfrak{H}}$ 定义为在部分 $H$-作用下固定的元素所构成的子代数。
• 利用 $A$ 在 $A^{\mathfrak{H}}$ 与 $\mathfrak{A\#H}$ 之间的双模结构，构造一个莫里塔框架，其配对映射为 $[\cdot,\cdot]$ 与 $\langle\cdot,\cdot\rangle$。
• 借助包络作用的存在性，将部分 smash 积与完整 smash 积 $B\#H$ 关联，从而实现结果的转移。
• 利用 $H$ 的有限维性及非零积分 $t$ 的存在性，通过映射 $\varphi \mapsto t \leftharpoonup \varphi$ 定义同构 $\theta: H^* \to H$。
• 利用典范映射 $\beta: A \otimes_{A^{\mathfrak{H}}} A \to \mathfrak{A \otimes H^*}$，其定义为 $\beta(a \otimes b) = ab^{[0]} \otimes b^{[1]}$，来关联其余射性条件。
• 证明 $\beta$ 的余射性、配对映射 $[\cdot,\cdot]$ 的余射性，以及扩展 $A^{\mathfrak{H}} \subset A$ 的霍普夫-伽罗瓦性质三者之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $A$ 上的局部 $H$-作用下，$A^{\mathfrak{H}}$ 与 $\mathfrak{A\#H}$ 之间的莫里塔框架在何种条件下为严格框架？
• RQ2 典范映射 $\beta$ 的余射性与扩展 $A^{\mathfrak{H}} \subset A$ 的霍普夫-伽罗瓦性质之间有何关联？
• RQ3 在部分霍普夫作用框架下，能否重新获得关于霍普夫-伽罗瓦扩张的经典结果？
• RQ4 有限维性与非零积分 $t$ 的存在性在构造莫里塔框架中起到何种作用？
• RQ5 通过包络作用，部分 smash 积 $\mathfrak{A\#H}$ 如何与完整 smash 积 $B\#H$ 关联？

主要发现

• 当且仅当扩展 $A^{\mathfrak{H}} \subset A$ 是局部 $H^*$-伽罗瓦扩张时，$A^{\mathfrak{H}}$ 与 $\mathfrak{A\#H}$ 之间的莫里塔框架为严格框架。
• $\beta: A \otimes_{A^{\mathfrak{H}}} A \to \mathfrak{A \otimes H^*}$ 的余射性与配对映射 $[\cdot,\cdot]: A \otimes_{A^{\mathfrak{H}}} A \to \mathfrak{A\#H}$ 的余射性等价。
• 配对映射 $[\cdot,\cdot]$ 通过同构 $\theta: H^* \to H$ 与 $\beta$ 相关联，满足 $[a,b] = (I \otimes \theta)(\beta(a \otimes b))$。
• 部分不变量 $A^{\mathfrak{H}}$ 同构于右 $\mathfrak{A\#H}$-模 $A$ 的自同态环的对偶代数，即 $A^{\mathfrak{H}} \cong \mbox{End}({}_{\mathfrak{A\#H}}A)^{op}$。
• 若 $A$ 是 $A^{\mathfrak{H}}$ 上的有限生成投射右模，则扩展 $A^{\mathfrak{H}} \subset A$ 是霍普夫-伽罗瓦扩张当且仅当 $\beta$ 是余射的。
• 在 $H$ 中存在非零积分 $t$ 使得同构 $\theta$ 可构造，且该性质对于关联典范映射 $\beta$ 与配对映射 $[\cdot,\cdot]$ 至关重要。