[论文解读] Floer homology of cotangent bundles and the loop product

Alberto Abbondandolo, Matthias Schwarz|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 27被引用 15

一句话总结

本文建立了紧致流形余切丛上的弗洛尔上同调与自由环路空间奇异上同调之间的深层同构关系，证明弗洛尔上同调中的配对裤乘积精确对应于环路空间上同调中的查斯-沙乌利根环路乘积。通过结合弗洛尔理论与莫尔斯理论的混合方法，辅以新颖的弗雷德霍姆分析与流形化技术，作者构建了一个链水平同构，通过梯度流轨迹与具有跳跃共法边界条件的全纯曲线，将环路乘积实现为几何交集积。

ABSTRACT

We prove that the pair-of-pants product on the Floer homology of the cotangent bundle of a compact manifold M corresponds to the Chas-Sullivan loop product on the singular homology of the loop space of M. We also prove related results concerning the Floer homological interpretation of the Pontrjagin product and of the Serre fibration. The techniques include a Fredholm theory for Cauchy-Riemann operators with jumping Lagrangian boundary conditions of conormal type, and a new cobordism argument replacing the standard gluing technique.

研究动机与目标

• 建立余切丛 $T^*M$ 上弗洛尔上同调中的配对裤乘积与自由环路空间 $\Lambda(M)$ 上奇异上同调中查斯-沙乌利根环路乘积之间的精确对应关系。
• 通过在 $W^{1,2}(\mathbb{T}, M)$ 上作用泛函的莫尔斯理论构造，提供环路乘积与庞特里亚金乘积的链水平描述。
• 为具有跳跃拉格朗日子空间边界条件的柯西-黎曼算子发展新的弗雷德霍姆理论，该理论对处理非局部边界条件至关重要。
• 用新颖的流形化论证替代弗洛尔理论中标准的粘合技术，以证明具有伪全纯曲线模空间的紧致性与横截性结果。
• 构建均匀凸哈密顿量的弗洛尔复形与对偶拉格朗日子空间作用泛函的莫尔斯复形之间的显式同构，从而将 $HF_*(T^*M)$ 与 $H_*(\Lambda(M))$ 识别为同构。

提出的方法

• 构建一种混合方法，将半柱面上的弗洛尔方程与 $W^{1,2}(\mathbb{T}, M)$ 上拉格朗日子空间作用泛函 $\mathbb{S}_L$ 的梯度流方程耦合。
• 通过在 $T^*M$ 上渐近二次增长的时变哈密顿量 $H$，定义具有非局部共法边界条件的弗洛尔复形。
• 引入一种新的流形化论证，以替代标准粘合技术，证明具有跳跃边界条件的伪全纯曲线模空间的紧致性与横截性。
• 通过分析马斯洛夫指标、椭圆估计及在象限与半条带上的指标计算，建立具有跳跃共法边界条件的柯西-黎曼算子的弗雷德霍姆理论。
• 利用类刘维尔型结果控制边界附近的解，证明具有非局部边界条件的算子的弗雷德霍姆性质。
• 通过显式链映射 $\mathbf{C}$, $\mathbf{Ev}$, $\mathbf{I_!}$ 构建莫尔斯复形与弗洛尔复形之间的链水平同构，表明弗洛尔上同调中的配对裤乘积精确对应于奇异上同调中的环路乘积。

实验结果

研究问题

• RQ1 弗洛尔上同调中 $T^*M$ 的配对裤乘积是否与 $H_*(\Lambda(M))$ 中的查斯-沙乌利根环路乘积相对应？
• RQ2 如何通过作用泛函上的莫尔斯理论构造，几何地实现 $H_*(\Lambda(M))$ 上的庞特里亚金乘积？
• RQ3 具有跳跃拉格朗日子空间边界条件的柯西-黎曼算子的正确弗雷德霍姆理论是什么？
• RQ4 能否用流形化论证替代弗洛尔上同调中的标准粘合技术，以证明具有非局部边界条件的伪全纯曲线模空间的紧致性与横截性？
• RQ5 是否存在均匀凸哈密顿量在 $T^*M$ 上的弗洛尔复形与对偶拉格朗日子空间作用泛函的莫尔斯复形之间的链水平同构？

主要发现

• 在 $T^*M$ 的弗洛尔上同调中，配对裤乘积在链水平上同构于 $H_*(\Lambda(M))$ 中的查斯-沙乌利根环路乘积。
• $H_*(\Lambda(M))$ 上的庞特里亚金乘积通过梯度流在环路空间上不稳定流形与稳定流形的交集构造的链映射实现。
• 为具有跳跃共法边界条件的柯西-黎曼算子发展了新的弗雷德霍姆理论，证明了弗雷德霍姆性质，并通过马斯洛夫指标与椭圆估计计算了指标。
• 作者构建了均匀凸哈密顿量的弗洛尔复形与对偶拉格朗日子空间作用泛函的莫尔斯复形之间的显式链同构，确立了 $HF_*(T^*M) \cong H_*(\Lambda(M))$。
• 流形化论证替代了标准粘合技术，证明了具有非局部边界条件的伪全纯曲线模空间的紧致性与横截性。
• 弗洛尔理论中的同态 $\mathbf{C}$, $\mathbf{Ev}$, 和 $\mathbf{I_!}$ 在链水平上精确对应于莫尔斯理论中的映射 $c_*$, $ev_*$, 与 $i_!$，从而确认了环路乘积的几何起源。