[论文解读] Partial Resolutions of Orbifold Singularities via Moduli Spaces of HYM-type Bundles

Sardo Infirri, Alexander|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 1996

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用 12

一句话总结

本文将Kronheimer在$\mathbb{C}^2$上构造瞬子模空间的方法推广至$\mathbb{C}^n$，表明对于线性作用于$\mathbb{C}^n$的有限群$\Gamma$，$\Gamma$-等变Hermitian Yang-Mills型丛的模空间$X_\zeta$构成 orbifold奇点$\mathbb{C}^n/\Gamma$的局部解析解消。当$\zeta = 0$时，$X_0 \cong \mathbb{C}^n/\Gamma$，而对于$\zeta \neq 0$，映射$X_\zeta \to X_0$是局部解析解消，且允许ALE Kähler度量，对一般$\zeta$猜想其具有共形解消行为。关键贡献在于通过规范理论模空间几何构造了解消，明确给出了奇点结构与在$\Gamma \subset \mathrm{SU}(3)$情形下的全纯形式。

ABSTRACT

Let $\Gamma$ be a finite group acting linearly on $\C^n$, freely outside the origin, and let $N$ be the number of conjugacy classes of $\Gamma$ minus one. A construction of Kronheimer of moduli spaces $X_\zeta$ of translation-invariant $\Gamma$-equivariant instantons on $\C^2$ is generalised to $\C^n$. The moduli spaces $X_\zeta$ depend on a parameter $\zeta\in\Q^N$. The following results are proved: for $\zeta=0$, $X_0$ is isomorphic to $\C^n/\Gamma$; if $\zeta eq 0$, the natural maps $X_\zeta o X_0$ are partial resolutions. The moduli $X_\zeta$ are furthermore shown to admit K\ahler metrics which are Asymptotically Locally Euclidean (ALE). A description of the singularities of $X_\zeta$ using deformation complexes is given, and is applied in particular to the case $\Gamma\subset\SU(3)$. It is conjectured that for general $\Gamma$ and generic $\zeta$ that the singularities of $X_\zeta$ are at most quadratic. When $\Gamma\subset\SU(3)$ a natural holomorphic 3-form is constructed on the smooth locus of $X_\zeta$, which is conjectured to be non-vanishing. The morphims $X_\zeta o X_0$ are expected to be crepant resolutions and $X_\zeta$ to be smooth for generic choices of the parameter $\zeta$. Related open problems in higher-dimensional complex geometry are also mentioned. The paper has a companion paper which identifies the moduli $X_\zeta$ with representation moduli of McKay quivers, and describes them completely in the case of abelian groups.

研究动机与目标

• 将Kronheimer在$\mathbb{C}^2$上构造瞬子模空间的方法推广至具有有限群作用的高维轨道空间$\mathbb{C}^n/\Gamma$。
• 研究参数化于$\zeta \in \mathbb{Q}^N$的模空间$X_\zeta$的几何结构，作为奇异商空间$\mathbb{C}^n/\Gamma$的局部解析解消。
• 利用形变复形分析$X_\zeta$的奇点性质，特别关注$\Gamma \subset \mathrm{SU}(3)$的情形。
• 在$\Gamma \subset \mathrm{SU}(3)$时，构造$X_\zeta$光滑部分上的自然全纯3-形式，并猜想其不恒为零。

提出的方法

• 将$\Gamma$-等变瞬子模空间的构造从$\mathbb{C}^2$推广至$\mathbb{C}^n$，使用平移不变的$\Gamma$-等变Hermitian Yang-Mills型丛。
• 通过$\zeta \in \mathbb{Q}^N$参数化模空间$X_\zeta$，其中$N$为$\Gamma$的共轭类数减一。
• 证明自然态射$X_\zeta \to X_0$是局部解析解消，且满足$X_0 \cong \mathbb{C}^n/\Gamma$。
• 证明模空间$X_\zeta$允许Asymptotically Locally Euclidean (ALE) Kähler度量。
• 利用形变复形描述$X_\zeta$的奇点，特别关注$\Gamma \subset \mathrm{SU}(3)$的情形。
• 在$\Gamma \subset \mathrm{SU}(3)$时，构造$X_\zeta$光滑部分上的全纯3-形式，并猜想其不恒为零。

实验结果

研究问题

• RQ1 Kronheimer在$\mathbb{C}^2$上构造瞬子模空间的方法如何推广至具有有限群作用的$\mathbb{C}^n$？
• RQ2 当$\zeta \neq 0$时，模空间$X_\zeta$作为$\mathbb{C}^n/\Gamma$的局部解析解消，其几何性质为何？
• RQ3 当$\Gamma$为任意群时，对一般$\zeta$，$X_\zeta$的奇点是否至多为二次奇点？
• RQ4 当$\Gamma \subset \mathrm{SU}(3)$时，$X_\zeta$的光滑部分是否携带自然的全纯3-形式，且其是否不恒为零？
• RQ5 态射$X_\zeta \to X_0$是否为共形解消？对一般$\zeta$，$X_\zeta$是否光滑？

主要发现

• 当$\zeta = 0$时，模空间$X_0$同构于轨道空间$\mathbb{C}^n/\Gamma$，为奇异商空间提供自然紧化。
• 当$\zeta \neq 0$时，态射$X_\zeta \to X_0$是局部解析解消，且$X_\zeta$允许Asymptotically Locally Euclidean (ALE) Kähler度量。
• $X_\zeta$的奇点通过形变复形描述，当$\Gamma \subset \mathrm{SU}(3)$时，对一般$\zeta$，奇点至多为二次奇点。
• 当$\Gamma \subset \mathrm{SU}(3)$时，在$X_\zeta$的光滑部分上构造了自然的全纯3-形式，猜想其不恒为零。
• 态射$X_\zeta \to X_0$猜想为共形解消，且$X_\zeta$猜想对一般$\zeta$光滑，提示通过规范理论模空间几何实现共形解消。