[论文解读] Partial twists and exotic Stein fillings

Kouichi Yasui|arXiv (Cornell University)|May 31, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 34被引用 5

一句话总结

本文提出了一种算法，通过在圆盘上的正允许Lefschetz纤维化（PALFs）上使用部分扭转变换，生成同一接触3-流形的无限多个成对的外微同胚的Stein填充。通过在子曲面上受控地进行Dehn变换来修改单值化分解，该方法生成的填充在同胚但微分同胚意义下不同，同时保持基本群、同调、边界同调和交截形式不变，并可嵌入到同一处吹胀中。其主要贡献在于为一大类4-流形实现了无限多个外微同胚填充之间的拓扑不变量的实现。

ABSTRACT

We give an algorithm which produces infinitely many pairwise exotic Stein fillings of the same contact 3-manifolds, applying positive allowable Lefschetz fibrations over the disk. As a corollary, for a large class of Stein fillings, we realize the topological invariants (i.e. fundamental group, homology group, homology group of the boundary, and intersection form) of each filling as those of infinitely many pairwise exotic Stein fillings. Furthermore, applying the algorithm, we produce various contact 3-manifolds of support genus one each of which admits infinitely many pairwise exotic Stein fillings.

研究动机与目标

• 通过系统性算法构造同一接触3-流形的无限多个成对的外微同胚Stein填充。
• 在这些外微同胚填充之间保持关键的拓扑不变量——基本群、同调、边界同调和交截形式。
• 证明此类外微同胚填充可嵌入到原始流形的同一处吹胀中。
• 表明边界接触3-流形的支撑亏格为1，即相容开书的页亏格最小。
• 通过在无限多个非微分同胚填充中实现任意有限表示的基本群和特定交截形式，扩展已知的外微同胚填充结果。

提出的方法

• 该算法通过在纤维中的曲线上施加受控的Dehn变换，在两个子曲面（记为$\mathbb{S}_\alpha$和$\mathbb{S}_a$）上应用部分扭转变换，来修改给定的PALF。
• 使用$R$-变换确保修改后的曲线与扭转参数保持独立，从而保持单值化分解的结构。
• 该构造基于通过替换Dehn变换子序列（如$(\gamma_1, \beta, \gamma_{-1})$为$(\gamma_1^{(i)}, \beta^{(i)}, \gamma_{-1}^{(i)})$）来改变PALF的单值化分解，从而生成新的填充。
• 该方法确保所有生成的PALF均为具有一个额外奇异纤维的同一更大PALF的子PALF，从而保证光滑嵌入性。
• 该算法应用于一个亏格为一、具有六个边界分量的基PALF $P_j$，并通过三元组$m = (m_0, m_1, m_2)$和二元组$l = (l_1, l_2)$进行扩展，生成一族$P^{(p)}_{i,j}$。
• 通过基本群计算和定理3.8的应用，证明了生成的填充在同胚但非微分同胚意义下不同。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为单个接触3-流形构造无限多个成对的外微同胚Stein填充，同时保持关键的拓扑不变量？
• RQ2 在无限多个非微分同胚的Stein填充之间，基本群、同调和交截形式能在多大程度上保持不变？
• RQ3 具有无限多个外微同胚Stein填充的接触3-流形的支撑亏格是多少？
• RQ4 该算法能否用于在无限多个外微同胚填充中实现任意有限表示的基本群？
• RQ5 是否存在一个共同的环境流形，使得所有外微同胚填充均可光滑嵌入其中？

主要发现

• 该算法生成了同一接触3-流形的无限多个成对的外微同胚Stein填充，所有填充同胚但非微分同胚。
• 基本群、同调群、边界同调群以及交截形式在所有填充中保持不变，同构于原始PALF $X$的对应不变量。
• 对于任意有限表示群$G$，存在无限多个成对的外微同胚Stein填充，其基本群同构于$G$，从而证实了推论1.2。
• 对于任意整数对称双线性型$Q$和秩为2的不定单模形式$I$，存在无限多个单连通的外微同胚Stein填充，其交截形式为$Q \oplus I$，如推论1.3所述。
• 边界接触3-流形的支撑亏格为1，由存在一个亏格为一的相容开书所证明。
• 所有外微同胚填充均可光滑嵌入到同一流形$X \# k\overline{\mathbb{C}P^2}$（$k$为某一定值）中，并可嵌入到一个具有一个额外奇异纤维的共同更大PALF中。